Calcule os seguintes limites, caso existam:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como os limites se comportam próximo de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. A função
retorna sempre um número positivo ou zero, independentemente do sinal de
. Ou seja:
- Se
for positivo, . - Se
for negativo, .
Isso é importante porque afeta como a fração
se comporta quando
é positivo ou negativo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
para valores de
próximos a
. Como
é um número negativo, vamos ver o que acontece quando
se aproxima desse valor:
- Quando
é negativo: Usamos . Substituindo na fração: - Quando
é positivo: Usamos . Substituindo na fração:
Passo 4
Entretanto, como
está se aproximando de
, estamos considerando valores de
próximos a esse ponto específico. Importante notar que, mesmo que
seja próximo, o sinal de
ainda depende de como ele se aproxima:
- Se
se aproxima de por valores maiores que (por cima): ainda é negativo. - Se
se aproxima de por valores menores que (por baixo): também é negativo.
Então, em ambos os casos,
permanece negativo perto de
.
Passo 5
Como
é negativo próximo a
, a expressão
sempre resulta em
. Portanto, independente de como
se aproxima de
, o valor da função será
.
Resposta
O limite é
.
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Calcule os seguintes limites, caso existam:
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