Calcule os seguintes limites, caso existam:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como os limites se comportam próximo de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. A função retorna sempre um número positivo ou zero, independentemente do sinal de . Ou seja:
  • Se for positivo, .
  • Se for negativo, .
Isso é importante porque afeta como a fração se comporta quando é positivo ou negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função para valores de próximos a . Como é um número negativo, vamos ver o que acontece quando se aproxima desse valor:
  • Quando é negativo: Usamos . Substituindo na fração:
  • Quando é positivo: Usamos . Substituindo na fração:

Passo 4

Entretanto, como está se aproximando de , estamos considerando valores de próximos a esse ponto específico. Importante notar que, mesmo que seja próximo, o sinal de ainda depende de como ele se aproxima:
  • Se se aproxima de por valores maiores que (por cima): ainda é negativo.
  • Se se aproxima de por valores menores que (por baixo): também é negativo.
Então, em ambos os casos, permanece negativo perto de .

Passo 5

Como é negativo próximo a , a expressão sempre resulta em . Portanto, independente de como se aproxima de , o valor da função será .

Resposta

O limite é .

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