Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função sujeita à condição . A gente vai usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar funções com restrições. Basicamente, precisamos achar onde a função que queremos otimizar e a restrição se “encaixam” melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente vai combinar a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente chamado de . A função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável , , e , e igualar todas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações que precisamos resolver.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. A quarta equação já nos dá a restrição:
Agora, olhemos as três primeiras equações:
Podemos tentar relacionar essas equações entre si. Por exemplo, subtraindo a segunda da primeira:
Simplificando:
Isso nos dá duas possibilidades: ou . Vamos analisar cada caso.

Passo 5

Caso 1:
Se , vamos substituir na segunda equação:
Agora, na terceira equação:
Igualando as duas expressões para :
Como (caso contrário, todas seriam zero e não satisfaz a restrição), podemos dividir por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, ou .
Subcaso 1.1:
Substituindo na expressão para :
Então, e . Agora, usando a restrição:
Portanto, temos dois pontos:
Subcaso 1.2:
Substituindo na expressão para :
Então, e . Usando a restrição:
Portanto, mais dois pontos:

Passo 6

Caso 2:
Na hora de chegar aqui, notamos que esse caso já foi considerado como Subcaso 1.2. Portanto, todas as soluções já estão encontradas nos passos anteriores.

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores de para cada um dos pontos encontrados.
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os extremos da função sujeitos à condição são:
  • Máximo: alcançado nos pontos e .
  • Mínimo: alcançado nos pontos e .

Exercícios relacionados

Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana .
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
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