Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
sujeita à condição
. A gente vai usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar funções com restrições. Basicamente, precisamos achar onde a função que queremos otimizar e a restrição se “encaixam” melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente vai combinar a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente chamado de
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável
,
,
e
, e igualar todas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações que precisamos resolver.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. A quarta equação já nos dá a restrição:
Agora, olhemos as três primeiras equações:
Podemos tentar relacionar essas equações entre si. Por exemplo, subtraindo a segunda da primeira:
Simplificando:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
. Vamos analisar cada caso.
Passo 5
Caso 1:
Se
, vamos substituir na segunda equação:
Agora, na terceira equação:
Igualando as duas expressões para
:
Como
(caso contrário, todas seriam zero e não satisfaz a restrição), podemos dividir por
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Então,
ou
.
Subcaso 1.1:
Substituindo
na expressão para
:
Então,
e
. Agora, usando a restrição:
Portanto, temos dois pontos:
Subcaso 1.2:
Substituindo
na expressão para
:
Então,
e
. Usando a restrição:
Portanto, mais dois pontos:
Passo 6
Caso 2:
Na hora de chegar aqui, notamos que esse caso já foi considerado como Subcaso 1.2. Portanto, todas as soluções já estão encontradas nos passos anteriores.
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores de
para cada um dos pontos encontrados.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à condição
são:
-
Máximo:
alcançado nos pontos e . -
Mínimo:
alcançado nos pontos e .
Exercícios relacionados
Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana
.
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(3)
(3)