Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série e precisamos descobrir se ela converge absolutamente, convergente condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e séries de p-termos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
Convergência absoluta acontece quando a série dos valores absolutos converge. Ou seja, se converge, então dizemos que a série original converge absolutamente.
Convergência condicional é quando a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Passo 3
Vamos analisar a convergência absoluta primeiro. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Sabemos que para valores pequenos de , . Então, para grande, . Isso nos leva a comparar com a série p:
A série p converge se e diverge se .
Passo 4
Agora, vamos considerar a convergência condicional. A série original é uma série alternada devido ao termo . Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se:
Os termos diminuem em valor absoluto.
O limite de tende a zero quando tende ao infinito.
Então, a série alternada converge condicionalmente.
Passo 5
Vamos verificar se os termos diminuem e tendem a zero.
Decrescimento: À medida que aumenta, diminui, então também diminui porque a função seno é crescente no intervalo considerado.
Limite: .
Portanto, o Teste da Série Alternada confirma que a série converge condicionalmente.
Passo 6
Com tudo isso, podemos concluir:
Se : A série dos valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente.
Se : A série dos valores absolutos diverge, mas a série alternada converge condicionalmente.
Resposta
A série converge absolutamente para e converge condicionalmente para .