Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=1^infty(-1)^n sin 1n^p, p>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série e precisamos descobrir se ela converge absolutamente, convergente condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e séries de p-termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
  • Convergência absoluta acontece quando a série dos valores absolutos converge. Ou seja, se converge, então dizemos que a série original converge absolutamente.
  • Convergência condicional é quando a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.

Passo 3

Vamos analisar a convergência absoluta primeiro. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |sin 1n^p|
Sabemos que para valores pequenos de sumn=1^infty 1n^p , . Então, para grande, . Isso nos leva a comparar com a série p:
A série p converge se e diverge se .

Passo 4

Agora, vamos considerar a convergência condicional. A série original é uma série alternada devido ao termo . Para verificar a convergência condicional, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se:
  1. Os termos diminuem em valor absoluto.
  2. O limite de tende a zero quando tende ao infinito.
Então, a série alternada converge condicionalmente.

Passo 5

Vamos verificar se os termos diminuem e tendem a zero.
  1. Decrescimento: À medida que aumenta, diminui, então também diminui porque a função seno é crescente no intervalo considerado.
  2. Limite: .
Portanto, o Teste da Série Alternada confirma que a série converge condicionalmente.

Passo 6

Com tudo isso, podemos concluir:
  • Se : A série dos valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente.
  • Se : A série dos valores absolutos diverge, mas a série alternada converge condicionalmente.

Resposta

A série converge absolutamente para e converge condicionalmente para .

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