Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis
que elimina a raiz do integrando.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável
que elimine a raiz na integral
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais com expressões radicais.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos a expressão
. Queremos eliminar essa raiz, então precisamos escolher uma substituição que simplifique essa expressão. Normalmente, para expressões do tipo
, usamos substituição trigonométrica com seno ou cosseno.
Passo 3
Vamos optar por uma substituição que utiliza o seno, já que ele nos ajuda a simplificar
. Vamos definir:
Aqui, escolhemos
porque
, que combina bem com a constante 4 na expressão original.
Passo 4
Com essa substituição, substituímos
na expressão original:
Assim, a raiz foi eliminada, e a integral fica mais fácil de resolver.
Resposta
A mudança de variável que elimina a raiz é
.