Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando.
integral0^2 / 3 raiz4-9 x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável que elimine a raiz na integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais com expressões radicais.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos a expressão . Queremos eliminar essa raiz, então precisamos escolher uma substituição que simplifique essa expressão. Normalmente, para expressões do tipo , usamos substituição trigonométrica com seno ou cosseno.

Passo 3

Vamos optar por uma substituição que utiliza o seno, já que ele nos ajuda a simplificar x = 23 sin t . Vamos definir:
Aqui, escolhemos porque , que combina bem com a constante 4 na expressão original.

Passo 4

Com essa substituição, substituímos raiz4 - 9x^2 = raiz4 - 9(23 sin t)^2 = raiz4 - 4 sin^2 t = 2 cos t na expressão original:
Assim, a raiz foi eliminada, e a integral fica mais fácil de resolver.

Resposta

A mudança de variável que elimina a raiz é .

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