Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando.
integral0^3 1raiz36-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral integral0^3 1raiz36 - x^2 , dx usando o método da substituição inversa. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada no denominador.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é 36 - x^2. Isso se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2(t) = cos^2(t), que sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Geralmente, quando temos a^2 - x^2 dentro de uma raiz, usamos x = a sin(t).

Passo 3

Vamos então definir a substituição: x = 6 sin(t). Aqui, a = 6 porque 36 = 6^2. Com isso, a expressão dentro da raiz fica:
raiz36 - x^2 = raiz36 - 36 sin^2(t) = raiz36(1 - sin^2(t)) = 6 cos(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de x em relação a t para substituir dx:
dx = 6 cos(t) , dt

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original:
integral0^3 1raiz36 - x^2 , dx = integralt1^t2 16 cos(t) cdot 6 cos(t) , dt = integralt1^t2 1 , dt

Passo 6

Os limites de integração também precisam ser ajustados para a nova variável t. Quando x = 0:
0 = 6 sin(t1) Rightarrow t1 = 0
Quando x = 3:
3 = 6 sin(t2) Rightarrow sin(t2) = 12 Rightarrow t2 = pi6

Passo 7

Agora, a integral simplificada fica:
integral0^pi6 1 , dt = t |0^pi6 = pi6 - 0 = pi6

Resposta

O valor da integral é pi6.

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