Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis
que elimina a raiz do integrando.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral
usando o método da substituição inversa. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a raiz quadrada no denominador.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
. Isso se parece com a identidade trigonométrica
, que sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Geralmente, quando temos
dentro de uma raiz, usamos
.
Passo 3
Vamos então definir a substituição:
. Aqui,
porque
. Com isso, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Os limites de integração também precisam ser ajustados para a nova variável
. Quando
:
Quando
:
Passo 7
Agora, a integral simplificada fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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