Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando o método da substituição inversa. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre substituições para simplificar integrais que têm raízes quadradas. Vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica para tirar a raiz de dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: . A ideia aqui é escolher uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples, sem a raiz. Normalmente, quando temos algo do tipo , usamos substituição trigonométrica porque envolve identidades como .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Por que essa escolha? Porque isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz. Com essa substituição, a expressão vai se transformar de uma maneira mais fácil de manejar.

Passo 4

Agora, vamos substituir na expressão da integral:
A gente usou a identidade trigonométrica .

Passo 5

Também precisamos substituir em termos de . Se , então derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
Simplificamos os coeficientes e ficamos com a integral de .

Passo 7

Para resolver , usamos a identidade de potência dupla:
Assim, a integral fica:

Passo 8

Calculando as integrais separadamente:
Então, juntando tudo:

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
Também, usando a identidade :

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

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Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
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