Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando o método da substituição inversa. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre substituições para simplificar integrais que têm raízes quadradas. Vamos precisar entender um pouco sobre substituição trigonométrica para tirar a raiz de dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: . A ideia aqui é escolher uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples, sem a raiz. Normalmente, quando temos algo do tipo , usamos substituição trigonométrica porque envolve identidades como .
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Por que essa escolha? Porque isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz. Com essa substituição, a expressão vai se transformar de uma maneira mais fácil de manejar.
Passo 4
Agora, vamos substituir na expressão da integral:
A gente usou a identidade trigonométrica .
Passo 5
Também precisamos substituir dx = raiz22 cos t , dt em termos de . Se , então derivando ambos os lados em relação a :
Passo 6
Substituindo tudo na integral original:
integral raiz2 - 4x^2 , dx = integral raiz2cos t cdot raiz22 cos t , dt = 22 integral cos^2t , dt = integral cos^2t , dt
Simplificamos os coeficientes e ficamos com a integral de .
Passo 7
Para resolver cos^2t = 1 + cos 2t2 , usamos a identidade de potência dupla:
integral cos^2t , dt = integral 1 + cos 2t2 , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cos 2t , dt
Assim, a integral fica:
Passo 8
Calculando as integrais separadamente:
12 integral 1 , dt = 12 t
12 integral cos 2t , dt = 12 cdot sin 2t2 = 14 sin 2t
Então, juntando tudo:
integral cos^2t , dt = 12 t + 14 sin 2t + C
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável original t = arcsin(2xraiz2) = arcsin(raiz2x) . Sabemos que sin 2t = 2 cdot 2xraiz2 cdot raiz1 - 2x^2 = 2raiz2x raiz1 - 2x^2 , então: