Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando a técnica de decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Para isso, vamos precisar entender como funciona a decomposição em frações parciais e aplicar um pouco de álgebra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em frações parciais. Quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, podemos, em muitos casos, decompô-la em somas de frações mais simples. Isso facilita a integração.
No nosso caso, o denominador é , que é um fator repetido. Então, nossa decomposição vai ter termos como , e .
Então, vamos escrever:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir o lado direito:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos do lado esquerdo e do lado direito da equação.
No lado esquerdo, não temos o termo , então o coeficiente de é 0.
Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeira equação: -2(0) + B = 2 Rightarrow B = 2 .
Substituindo 0 - 2 + C = -3 Rightarrow C = -1 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 6
Agora que encontramos os valores de 2x - 3(x - 1)^3 = 0(x - 1) + 2(x - 1)^2 + -1(x - 1)^3 , 2x - 3(x - 1)^3 = 2(x - 1)^2 - 1(x - 1)^3 e , podemos escrever a decomposição das frações:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x - 1)^2 , dx - integral 1(x - 1)^3 , dx
Vamos resolver cada integral:
Para integral 2(x - 1)^2 , dx = 2 times ( (x - 1)^-1-1 ) = -2x - 1 :
Lembre que integral 1(x - 1)^3 , dx = (x - 1)^-2-2 = -12(x - 1)^2 , quando .