Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: ) integral 2 x-3(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando a técnica de decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Para isso, vamos precisar entender como funciona a decomposição em frações parciais e aplicar um pouco de álgebra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em frações parciais. Quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, podemos, em muitos casos, decompô-la em somas de frações mais simples. Isso facilita a integração.
No nosso caso, o denominador é 2x - 3(x - 1)^3 = A(x - 1) + B(x - 1)^2 + C(x - 1)^3 , que é um fator repetido. Então, nossa decomposição vai ter termos como , e .
Então, vamos escrever:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2x - 3 = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C para eliminar os denominadores:
2x - 3 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x - 1) + C
Vamos expandir o lado direito:
2x - 3 = A x^2 - 2A x + A + B x - B + C
Distribuindo os termos:
2x - 3 = A x^2 + (-2A + B) x + (A - B + C)
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos do lado esquerdo e do lado direito da equação.
No lado esquerdo, não temos o termo A = 0 -2A + B = 2 A - B + C = -3 , então o coeficiente de é 0.
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeira equação: -2(0) + B = 2 Rightarrow B = 2 .
Substituindo 0 - 2 + C = -3 Rightarrow C = -1 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de 2x - 3(x - 1)^3 = 0(x - 1) + 2(x - 1)^2 + -1(x - 1)^3 , 2x - 3(x - 1)^3 = 2(x - 1)^2 - 1(x - 1)^3 e , podemos escrever a decomposição das frações:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x - 1)^2 , dx - integral 1(x - 1)^3 , dx
Vamos resolver cada integral:
  1. Para integral 2(x - 1)^2 , dx = 2 times ( (x - 1)^-1-1 ) = -2x - 1 :
Lembre que integral 1(x - 1)^3 , dx = (x - 1)^-2-2 = -12(x - 1)^2 , quando .
Aqui, , então:
  1. Para :
Usando a mesma regra, com :

Passo 8

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
-2x - 1 - ( -12(x - 1)^2 ) + C = -2x - 1 + 12(x - 1)^2 + C

Resposta

A integral -2x - 1 + 12(x - 1)^2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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