Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral usando a técnica de decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Para isso, vamos precisar entender como funciona a decomposição em frações parciais e aplicar um pouco de álgebra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição em frações parciais. Quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, podemos, em muitos casos, decompô-la em somas de frações mais simples. Isso facilita a integração.
No nosso caso, o denominador é , que é um fator repetido. Então, nossa decomposição vai ter termos como , e .
Então, vamos escrever:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir o lado direito:
Distribuindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos do lado esquerdo e do lado direito da equação.
No lado esquerdo, não temos o termo , então o coeficiente de é 0.
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 6

Agora que encontramos os valores de , e , podemos escrever a decomposição das frações:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
  1. Para :
Lembre que , quando .
Aqui, , então:
  1. Para :
Usando a mesma regra, com :

Passo 8

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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