Usando a mudança de variável u = y', encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada. y'' = y' * e^y, y(3) = 0, y'(3) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar a mudança de variável , que vai ajudar a simplificar a equação. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação original. Assim, a derivada segunda vira . A equação fica:
Isso simplifica a equação diferencial de segunda ordem para uma de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da cadeia para relacionar com . Sabemos que e . Então, podemos escrever:
Usando a regra da cadeia, temos:
Mas , então:
Cancelando dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que e quando (pois ):
Então, a equação fica:
Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para resolver a equação:
Integrando ambos os lados:
Usando a condição inicial :
Então, a equação fica:
Multiplicando por -1:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

A solução particular é .

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