Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variável
, que vai ajudar a simplificar a equação. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como integrar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação original. Assim, a derivada segunda
vira
. A equação fica:
Isso simplifica a equação diferencial de segunda ordem para uma de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos usar a regra da cadeia para relacionar
com
. Sabemos que
e
. Então, podemos escrever:
Usando a regra da cadeia, temos:
Mas
, então:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Sabemos que
e quando
(pois
):
Então, a equação fica:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis para resolver a equação:
Integrando ambos os lados:
Usando a condição inicial
:
Então, a equação fica:
Multiplicando por -1:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
A solução particular é
.