Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . Além disso, temos as condições iniciais e . A matéria envolvida aqui é o estudo de equações diferenciais, especificamente usando a técnica de mudança de variável. A gente vai precisar usar essa substituição para facilitar a resolução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: . Assim, a segunda derivada de em relação a fica . Então, nossa equação fica:
Isso transforma a equação original em uma equação diferencial de primeira ordem, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então podemos reescrever como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar em termos de e . Mas, para resolver , vamos primeiro separar as variáveis.

Passo 4

A equação pode ser reescrita como:
Vamos separar as variáveis e dividindo ambos os lados por :
Agora, integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como é uma função de , precisamos expressar em termos de para poder integrar. Sabemos que , então podemos reescrever a integral como:
Isso nos ajuda a simplificar a integração.

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
Então, temos:
Podemos simplificar isso removendo o valor absoluto e escrevendo:
onde é uma constante.

Passo 7

Agora, lembrando que , temos:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo, , não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função erro, .
Então, temos:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Quando , e .
Primeiro, usamos . Sabemos que quando :

Passo 10

Agora, aplicamos na equação:

Resposta

A solução particular da equação diferencial, atendendo às condições iniciais dadas, é:

Exercícios relacionados

Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de ? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.