Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. A matéria envolvida aqui é o estudo de equações diferenciais, especificamente usando a técnica de mudança de variável. A gente vai precisar usar essa substituição
para facilitar a resolução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida:
. Assim, a segunda derivada de
em relação a
fica
. Então, nossa equação fica:
Isso transforma a equação original em uma equação diferencial de primeira ordem, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então podemos reescrever
como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
e
. Mas, para resolver
, vamos primeiro separar as variáveis.
Passo 4
A equação
pode ser reescrita como:
Vamos separar as variáveis
e
dividindo ambos os lados por
:
Agora, integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como
é uma função de
, precisamos expressar
em termos de
para poder integrar. Sabemos que
, então podemos reescrever a integral como:
Isso nos ajuda a simplificar a integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na integral:
Então, temos:
Podemos simplificar isso removendo o valor absoluto e escrevendo:
onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, lembrando que
, temos:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo,
, não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função erro,
.
Então, temos:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Quando
,
e
.
Primeiro, usamos
. Sabemos que
quando
:
Passo 10
Agora, aplicamos
na equação:
Resposta
A solução particular da equação diferencial, atendendo às condições iniciais dadas, é:
Exercícios relacionados
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de
? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral