Usando a mudança de variável u = y', encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada. y'' = 2 y y', y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau: . Além disso, temos as condições iniciais y(0) = 1 e . A matéria envolvida aqui é o estudo de equações diferenciais, especificamente usando a técnica de mudança de variável. A gente vai precisar usar essa substituição para facilitar a resolução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: . Assim, a segunda derivada de y em relação a x fica . Então, nossa equação fica:
Isso transforma a equação original em uma equação diferencial de primeira ordem, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos expressar y em termos de u. Sabemos que , então podemos reescrever como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar y em termos de x e u. Mas, para resolver , vamos primeiro separar as variáveis.

Passo 4

A equação pode ser reescrita como:
Vamos separar as variáveis u e x dividindo ambos os lados por u:
Agora, integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre u e y.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mas, como y é uma função de x, precisamos expressar y em termos de u para poder integrar. Sabemos que , então podemos reescrever a integral como:
Isso nos ajuda a simplificar a integração.

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
Então, temos:
Podemos simplificar isso removendo o valor absoluto e escrevendo:
onde é uma constante.

Passo 7

Agora, lembrando que , temos:
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis y e x:

Passo 8

Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo, , não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função erro, .
Então, temos:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes K e C. Quando x = 0, e .
Primeiro, usamos . Sabemos que quando :

Passo 10

Agora, aplicamos y(0) = 1 na equação:

Resposta

A solução particular da equação diferencial, atendendo às condições iniciais dadas, é:

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