Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
é integrável em todo intervalo
.
II A função
é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença
é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente avaliar três afirmações sobre duas funções,
e
, dentro de um intervalo
. O conteúdo envolve conceitos de cálculo como integração e derivação. Para resolver, vamos analisar cada afirmação passo a passo e ver quais são corretas.
Passo 2
Afirmação I: A função
é integrável em todo intervalo
.
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável. Uma função é integrável em um intervalo se conseguimos calcular a área sob a curva dessa função nesse intervalo. Funções contínuas, por exemplo, são sempre integráveis. Então, se não há nada que impeça
de ser integrada (como descontinuidades graves), essa afirmação provavelmente está correta.
Passo 3
Afirmação II: A função
é derivável e sua derivada é a função
.
Aqui, estamos falando sobre derivação. Se
é derivável, isso significa que
tem uma taxa de variação bem definida em cada ponto do intervalo
, e essa taxa de variação é dada pela derivada
. Então,
. Isso implica que
está suavemente variando no intervalo, sem “quebras” ou “pontas”.
Passo 4
Afirmação III: A função diferença
é uma função constante.
Vamos analisar isso usando a afirmação II. Se
, então
. Se essa diferença for constante, isso significa que a taxa de variação de
está relacionada de forma direta à própria função
. Em outras palavras,
, onde
é uma constante.
Isso sugere que
satisfaz uma equação diferencial simples, indicando uma relação linear entre
e sua derivada. Portanto, se
for derivável e essa relação for mantida, a afirmação III está correta.
Passo 5
Conclusão:
- A Afirmação I está correta porque, geralmente, funções deriváveis são contínuas e, portanto, integráveis.
- A Afirmação II também está correta por definição.
- A Afirmação III está correta com base na relação estabelecida pela derivada.
Então, todas as três afirmações são corretas.
Resposta
A letra (e) I, II e III é a correta.
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