Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de segunda ordem e a técnica de mudança de variável. Vamos precisar transformar essa equação em uma de primeira ordem para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja
. Isso significa que
. Substituindo na nossa equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação em termos de
e
. Sabemos que
, então
. Podemos usar a regra da cadeia para expressar
como
. Substituindo isso na equação, fica:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para poder integrar. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
�� a constante de integração. Agora, lembrando que
, temos:
Passo 6
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Tomamos a raiz dos dois lados (considerando apenas a solução positiva, já que
):
Agora, separamos as variáveis novamente:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Passo 10
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Resposta
A solução particular é:
Exercícios relacionados
(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de
? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.