Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de segunda ordem e a técnica de mudança de variável. Vamos precisar transformar essa equação em uma de primeira ordem para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja
. Isso significa que
. Substituindo na nossa equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação em termos de
e
. Sabemos que
, então
. Podemos usar a regra da cadeia para expressar
como
. Substituindo isso na equação, fica:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para poder integrar. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
�� a constante de integração. Agora, lembrando que
, temos:
Passo 6
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Tomamos a raiz dos dois lados (considerando apenas a solução positiva, já que
):
Agora, separamos as variáveis novamente:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Passo 10
Resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Resposta
A solução particular é: