Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de segunda ordem e a técnica de mudança de variável. Vamos precisar transformar essa equação em uma de primeira ordem para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja . Isso significa que . Substituindo na nossa equação original, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em termos de e . Sabemos que , então . Podemos usar a regra da cadeia para expressar como . Substituindo isso na equação, fica:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para poder integrar. Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 5

Calculando as integrais:
Onde �� a constante de integração. Agora, lembrando que , temos:

Passo 6

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo e na equação:
Então, a equação fica:

Passo 7

Tomamos a raiz dos dois lados (considerando apenas a solução positiva, já que ):
Agora, separamos as variáveis novamente:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo e :
Então, a equação fica:

Passo 10

Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:

Resposta

A solução particular é:

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(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de ? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.