Usando a mudança de variável u = y', encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada. 2 y'' = e^y, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de segunda ordem e a técnica de mudança de variável. Vamos precisar transformar essa equação em uma de primeira ordem para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: seja . Isso significa que . Substituindo na nossa equação original, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em termos de e . Sabemos que , então . Podemos usar a regra da cadeia para expressar como . Substituindo isso na equação, fica:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para poder integrar. Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 5

Calculando as integrais:
Onde �� a constante de integração. Agora, lembrando que , temos:

Passo 6

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo e na equação:
Então, a equação fica:

Passo 7

Tomamos a raiz dos dois lados (considerando apenas a solução positiva, já que ):
Agora, separamos as variáveis novamente:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Vamos usar a condição inicial para encontrar . Substituindo e :
Então, a equação fica:

Passo 10

Resolvendo para :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -2:

Resposta

A solução particular é:

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