(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de ? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. O exercício tem três partes (a, b e c) e envolve o conceito de integral definida. A gente vai usar retângulos inscritos para somar áreas e resolver a integral. Para isso, precisamos entender como dividir a região de integração em parcelas menores, calcular cada uma delas e, por fim, interpretar o resultado.

Passo 2

Começando pela parte (a): Queremos saber em quantas parcelas devemos separar a resolução da integral usando retângulos inscritos.
Quando usamos retângulos inscritos (ou somas de Riemann inferiores), dividimos o intervalo de integração em n subintervalos iguais. A quantidade de parcelas vai depender de como queremos aproximar a área sob a curva. Geralmente, quanto mais parcelas a gente usar, mais precisa será a aproximação.
Então, se o intervalo de integração é , a gente divide esse intervalo em n partes iguais, cada uma com comprimento .

Passo 3

Agora, na parte (b), temos que escolher uma dessas parcelas para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos.
Vamos supor que escolhemos a -ésima parcela. A borda esquerda desse subintervalo é e a borda direita é . O ponto escolhido para a altura do retângulo será o ponto mais à esquerda, ou seja, . A altura do retângulo será dada pela função avaliada nesse ponto: .
Então, a área desse retângulo será .

Passo 4

Finalmente, na parte ©, precisamos verificar se a integral realmente calcula a área da região de integração.
A integral definida de uma função no intervalo representa exatamente a área sob a curva e acima do eixo , entre e . Portanto, ao calcular usando retângulos inscritos, estamos somando as áreas desses retângulos para obter uma aproximação da área total da região de integração.

Resposta

(a) Devemos dividir a resolução da integral em n parcelas iguais, onde é o número de subintervalos escolhidos para aproximar a área usando retângulos inscritos.
(b) Ao escolher a -ésima parcela, a integral correspondente é , onde é o comprimento de cada subintervalo.
© Sim, a integral calcula a área da região de integração, pois a integral definida representa a soma das áreas dos retângulos que aproximam a área sob a curva da função no intervalo considerado.

Exercícios relacionados

Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.