(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de
? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral
calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. O exercício tem três partes (a, b e c) e envolve o conceito de integral definida. A gente vai usar retângulos inscritos para somar áreas e resolver a integral. Para isso, precisamos entender como dividir a região de integração em parcelas menores, calcular cada uma delas e, por fim, interpretar o resultado.
Passo 2
Começando pela parte (a): Queremos saber em quantas parcelas devemos separar a resolução da integral
usando retângulos inscritos.
Quando usamos retângulos inscritos (ou somas de Riemann inferiores), dividimos o intervalo de integração em n subintervalos iguais. A quantidade de parcelas vai depender de como queremos aproximar a área sob a curva. Geralmente, quanto mais parcelas a gente usar, mais precisa será a aproximação.
Então, se o intervalo de integração é
, a gente divide esse intervalo em n partes iguais, cada uma com comprimento
.
Passo 3
Agora, na parte (b), temos que escolher uma dessas parcelas para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos.
Vamos supor que escolhemos a
-ésima parcela. A borda esquerda desse subintervalo é
e a borda direita é
. O ponto escolhido para a altura do retângulo será o ponto mais à esquerda, ou seja,
. A altura do retângulo será dada pela função
avaliada nesse ponto:
.
Então, a área desse retângulo será
.
Passo 4
Finalmente, na parte ©, precisamos verificar se a integral
realmente calcula a área da região de integração.
A integral definida de uma função
no intervalo
representa exatamente a área sob a curva
e acima do eixo
, entre
e
. Portanto, ao calcular
usando retângulos inscritos, estamos somando as áreas desses retângulos para obter uma aproximação da área total da região de integração.
Resposta
(a) Devemos dividir a resolução da integral
em n parcelas iguais, onde
é o número de subintervalos escolhidos para aproximar a área usando retângulos inscritos.
(b) Ao escolher a -ésima parcela, a integral correspondente é
, onde
é o comprimento de cada subintervalo.
© Sim, a integral calcula a área da região de integração, pois a integral definida representa a soma das áreas dos retângulos que aproximam a área sob a curva da função no intervalo considerado.
(b) Ao escolher a
© Sim, a integral
Exercícios relacionados
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.