Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular que satisfaça as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável, definindo
. Isso vai simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
. Isso significa que
. Substituindo na equação original, fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos que o coeficiente de
é
e o termo da direita é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o fator integrante para resolver essa equação linear. O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolva para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, sabemos que
:
Passo 10
A segunda condição é
. Usando
:
Passo 11
Substituindo
na equação anterior:
Passo 12
Agora, temos todas as constantes. A solução particular é:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de
? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.