Usando a mudança de variável u = y', encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada. x y'' - y' = x^2, y(1) = 0, y'(1) = 1

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular que satisfaça as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável, definindo . Isso vai simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir . Isso significa que . Substituindo na equação original, fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de u.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos que o coeficiente de u é e o termo da direita é x.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o fator integrante para resolver essa equação linear. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolva para u:
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, integramos para encontrar y:
Onde D é outra constante de integração.

Passo 9

Usamos as condições iniciais para encontrar C e D. Primeiro, sabemos que :

Passo 10

A segunda condição é . Usando :

Passo 11

Substituindo na equação anterior:

Passo 12

Agora, temos todas as constantes. A solução particular é:

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

Exercícios relacionados