Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular que satisfaça as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável, definindo . Isso vai simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir . Isso significa que . Substituindo na equação original, fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos que o coeficiente de é e o termo da direita é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o fator integrante para resolver essa equação linear. O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolva para :
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, integramos para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Usamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, sabemos que :

Passo 10

A segunda condição é . Usando :

Passo 11

Substituindo na equação anterior:

Passo 12

Agora, temos todas as constantes. A solução particular é:

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

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Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
(a) Usando a definição de integral definida, com retângulos inscritos na região de integração, em quantas parcelas devemos separar a resolução de ? Justifique sua resposta.
(b) Escolha uma das parcelas obtidas no item (a) para resolver a integral correspondente usando retângulos inscritos na região de integração.
© A integral calcula a área da região de integração? Justifique sua resposta.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.