Usando a mudança de variável u = y', encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada. y'' = 2(y + 1)^(3), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial usando a mudança de variável . Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de segunda ordem e métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que a derivada de em relação a é . Assim, podemos reescrever a equação original como:

Passo 3

Agora, percebemos que temos uma equação envolvendo e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que . Então, substituindo na equação:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar. Dividimos ambos os lados por :
Mas isso ainda está complicado. Então, reorganizamos a equação inicial:
Agora, isso nos permite integrar ambos os lados com relação a .

Passo 5

Integrando ambos os lados:
A integração do lado esquerdo é:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que , temos:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar .

Passo 7

Substituindo e na equação:
Então, .

Passo 8

Com , a equação fica:
Tirando a raiz dos dois lados:
Como é positivo, escolhemos o sinal positivo:

Passo 9

Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Tomando o inverso:

Passo 11

Usando a condição inicial :
Então, e .

Passo 12

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução particular é .

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