Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial, especialmente sobre equações diferenciais de segunda ordem e métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é
. Assim, podemos reescrever a equação original como:
Passo 3
Agora, percebemos que temos uma equação envolvendo
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que
. Então, substituindo na equação:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para integrar. Dividimos ambos os lados por
:
Mas isso ainda está complicado. Então, reorganizamos a equação inicial:
Agora, isso nos permite integrar ambos os lados com relação a
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
A integração do lado esquerdo é:
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que
, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação:
Então,
.
Passo 8
Com
, a equação fica:
Tirando a raiz dos dois lados:
Como
é positivo, escolhemos o sinal positivo:
Passo 9
Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Tomando o inverso:
Passo 11
Usando a condição inicial
:
Então,
e
.
Passo 12
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução particular é
.
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, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
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