Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial utilizando a substituição
. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem e técnicas de integração. Agora, vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição sugerida:
. Isso transforma a equação original de segunda ordem em uma de primeira ordem:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
. Isso ajuda a simplificar a equação e facilita a integração:
O lado esquerdo da equação pode ser reescrito como:
Então, temos:
Passo 4
Integralizamos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 5
Observamos que
, então a integral no lado direito fica:
Integrando:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante
. Quando
,
e
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Reescrevemos a equação para
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 8
Agora, separamos as variáveis para integrar:
Isso nos dá:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Aplicamos as condições iniciais para encontrar
.
Passo 10
Quando
,
:
Então, a equação fica:
Passo 11
Resolvemos para
:
Sabemos que:
Após simplificações, chegamos à solução:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável
, encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(d)
(d)