Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial utilizando a substituição . A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem e técnicas de integração. Agora, vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição sugerida: . Isso transforma a equação original de segunda ordem em uma de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por . Isso ajuda a simplificar a equação e facilita a integração:
O lado esquerdo da equação pode ser reescrito como:
Então, temos:

Passo 4

Integralizamos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 5

Observamos que , então a integral no lado direito fica:
Integrando:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para encontrar a constante . Quando , e :
Então, a equação fica:

Passo 7

Reescrevemos a equação para :
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 8

Agora, separamos as variáveis para integrar:
Isso nos dá:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Aplicamos as condições iniciais para encontrar .

Passo 10

Quando , :
Então, a equação fica:

Passo 11

Resolvemos para :
Sabemos que:
Após simplificações, chegamos à solução:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Usando a mudança de variável , encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(d)