Em cada un dos problemas de 1 a 14, exconte a solugio geral da equaglo diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial não linear porque temos o termo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Equações de Riccati, que têm a forma geral:
No nosso caso, rearranjando a equação original, temos:
Isso se encaixa na forma de uma Equação de Riccati onde:
Para resolver uma Equação de Riccati, uma estratégia comum é encontrar uma solução particular e então usar essa solução para transformar a equação em uma equação linear mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma solução particular para a equação diferencial. Vamos supor que seja uma função polinomial do tipo:
onde e são constantes que vamos determinar.
Calculando a derivada de :
Agora, substituindo e na equação diferencial:
Expandindo e simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes de , e os termos constantes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações para encontrar e :
Da primeira equação:Então, ou .
Vamos considerar :
Substituindo na segunda equação:
Verificando na terceira equação:
Isso não funciona. Vamos tentar :
Substituindo na segunda equação:
Verificando na terceira equação:
Também não funciona. Parece que nossa suposição inicial de não está funcionando. Vamos tentar incluir um termo quadrático.
Passo 4
Vamos supor uma solução particular de segundo grau:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo o lado direito:
Igualando os coeficientes de cada potência de :
: →
: → Com , qualquer serve
: → Com , → ou
: → Com , → Se , então
Constante: → Se e :
Não funciona. Vamos tentar :
→ →
Constante:
Também não funciona. Parece que nossa abordagem precisa mudar.
Passo 5
Como não conseguimos encontrar uma solução particular facilmente, vamos tentar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação diferencial linear.
Vamos fazer a substituição:
Calculando :
Substituindo e na equação original:
Isso simplifica para:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Isso ainda parece complicado. Talvez precisemos tentar outra substituição ou abordagem.
Passo 6
Vamos tentar outra abordagem. Vamos supor que a solução geral seja composta pela soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea associada é:
Vamos resolver essa equação primeiro.
Separando as variáveis:
Fatorando o lado direito:
Separando as variáveis:
Integrando os dois lados:
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para :
→
Para :
→
Então:
Simplificando:
onde
Resolvendo para :
Esta é a solução geral da equação homogênea.
Passo 7
Agora, vamos buscar uma solução particular para a equação completa:
Já que o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais:
: →
: → Com , qualquer serve
: → Com , →
: → Com ,
Constante:
Vamos resolver para :
→ → →
Agora para :
→ → →
Parece que não conseguimos encontrar uma solução particular dessa forma. Isso sugere que a solução particular pode não ser um polinômio simples. Vamos tentar outro método ou reconsiderar nossa abordagem.
Passo 8
Diante das dificuldades, vamos reconsiderar nossa estratégia. A equação original é uma Equação de Riccati não linear. Uma abordagem eficaz para resolver Equações de Riccati é encontrar uma solução particular e ent��o usar uma substituição para transformar a equação em uma equação linear de segunda ordem.
No entanto, como não conseguimos encontrar facilmente, vamos tentar uma substituição diferente. Vamos assumir que a solução geral pode ser escrita na forma da solução homogênea mais alguma função particular.
Já encontramos a solução geral da equação homogênea:
Agora, vamos procurar uma solução particular que satisfaça a equação completa:
Vamos tentar supor que tenha a forma de um polinômio de segundo grau:
Já tentamos essa abordagem e não funcionou diretamente. Portanto, podemos tentar uma solução particular linearmente ajustada, considerando a interação com a solução homogênea.
Outra estratégia é usar transformação de variável ou séries de potências, mas isso pode ficar complexo.
Dada a complexidade, vamos simplificar e concluir que a solução geral da equação diferencial não linear fornecida envolve métodos avançados que vão além do escopo desta explicação.