Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas x, y e z em função de u, v e w.
lx+y+z=u x-z=v 3 x-2 y=w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de três equações com vetores: x, y e z. A matéria envolvida aqui é a álgebra vetorial, especificamente as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar manipular essas equações para isolar cada vetor em função dos outros vetores u, v e w.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a segunda equação do sistema: x - z = v. Essa equação já está quase resolvida para x. Podemos rearranjá-la para expressar x em termos de z e v:
x = v + z
Isso nos dá uma expressão para x que podemos usar nas outras equações.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de x que encontramos na Passo 2 na primeira equação do sistema: x + y + z = u. Assim:
(v + z) + y + z = u
Vamos simplificar isso combinando termos semelhantes:
v + y + 2z = u

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar y:
y = u - v - 2z
Agora temos uma expressão para y em termos de u, v e z.

Passo 5

Seguimos para a terceira equação do sistema: 3x - 2y = w. Substituímos as expressões de x e y que encontramos:
3(v + z) - 2(u - v - 2z) = w
Vamos distribuir os coeficientes:
3v + 3z - 2u + 2v + 4z = w
Combine os termos semelhantes:
(3v + 2v) + (3z + 4z) - 2u = w
5v + 7z - 2u = w

Passo 6

Agora, vamos isolar z:
7z = w + 2u - 5v
Dividindo ambos os lados por 7:
z = 17w + 27u - 57v

Passo 7

Com z encontrada, voltamos às expressões que tínhamos para x e y.
Primeiro, para x:
x = v + z = v + ( 17w + 27u - 57v )
Simplificando:
x = 27v + 17w + 27u

Passo 8

Agora, para y:
y = u - v - 2z = u - v - 2( 17w + 27u - 57v )
Distribuindo o -2:
y = u - v - 27w - 47u + 107v
Combinando termos semelhantes:
y = (1 - 47)u + (-1 + 107)v - 27w
y = 37u + 37v - 27w

Resposta

As soluções para as incógnitas são:
x = 27u + 27v + 17w
y = 37u + 37v - 27w
z = 27u - 57v + 17w

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