Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas e em função de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de três equações com vetores: x, y e z. A matéria envolvida aqui é a álgebra vetorial, especificamente as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar manipular essas equações para isolar cada vetor em função dos outros vetores u, v e w.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a segunda equação do sistema: x - z = v. Essa equação já está quase resolvida para x. Podemos rearranjá-la para expressar x em termos de z e v:
x = v + z
Isso nos dá uma expressão para x que podemos usar nas outras equações.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de x que encontramos na Passo 2 na primeira equação do sistema: x + y + z = u. Assim:
(v + z) + y + z = u
Vamos simplificar isso combinando termos semelhantes:
v + y + 2z = u
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar y:
y = u - v - 2z
Agora temos uma expressão para y em termos de u, v e z.
Passo 5
Seguimos para a terceira equação do sistema: 3x - 2y = w. Substituímos as expressões de x e y que encontramos:
3(v + z) - 2(u - v - 2z) = w
Vamos distribuir os coeficientes:
3v + 3z - 2u + 2v + 4z = w
Combine os termos semelhantes:
(3v + 2v) + (3z + 4z) - 2u = w
5v + 7z - 2u = w
Passo 6
Agora, vamos isolar z:
7z = w + 2u - 5v
Dividindo ambos os lados por 7:
z = 17w + 27u - 57v
Passo 7
Com z encontrada, voltamos às expressões que tínhamos para x e y.