Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = |(3x + 2)/(2x + 1)|^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa diferenciar a função usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma ferramenta poderosa para derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Aqui, temos uma potência e um valor absoluto, então vamos precisar entender como derivar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Pense na função como uma composição de duas funções:
  • Função externa:
  • Função interna:
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . Então, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa . A derivada de em relação a é:
Isso significa que a taxa de variação da função externa depende de elevado à quarta potência, multiplicado por 5.

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna . Para derivar o valor absoluto, usamos a seguinte regra:
Onde . Isso nos ajuda a lidar com a parte do valor absoluto na derivada.

Passo 5

Vamos derivar usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Calculando o numerador:
Então, a derivada de é .

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo usando a regra da cadeia. Lembrando que:
Substituindo e :
Simplificando a fração dentro da derivada:
Isso basicamente ajusta o sinal da derivada dependendo do valor de .

Resposta

A derivada da função é:
Ou, de forma simplificada:

Exercícios relacionados

Derive as seguintes funções:
f(x) = 3 x^2 - 4 sen(x^2 + 5 x + 1)
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x) = 3 / (sen(x) + cos(x))
Seja f definida do retângulo Q = [-1, 1] x [-1, 1] por
f(x) = { x^2 + y^2, se x^2 + y^2 <= 1; 0, caso contrário }á
Calcule o volume abaixo de f e acima do retângulo Q.
Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = e^(t(x))