Usando a regra da cadeia para funções de mais de uma variável:
Encontre se onde . Qual é o valor desta derivada ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , onde , com , e . Isso envolve a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Então, precisamos saber como derivar funções que dependem de mais de uma variável quando essas variáveis também dependem de outra, no caso, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Isso significa que a derivada de em relação a será a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável multiplicada pela derivada dessa variável em relação a .
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
: Como , a derivada de em relação a é simplesmente .
: Da mesma forma, derivando em relação a , temos .
: Aqui, derivando em relação a , temos , já que aparece apenas uma vez e com coeficiente 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis em relação a :
: Como , sua derivada é .
: Com , a derivada é .
: Já que , a derivada é .
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir e na expressão:
Isso dá:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica :
Passo 8
Finalmente, queremos o valor dessa derivada quando :