Usando a regra da cadeia para funções de mais de uma variável:
Encontre d w / d t se w = x*y + z onde x = cos(t), y = sen(t) e z = t. Qual é o valor desta derivada em t = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a , onde , com , e . Isso envolve a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Então, precisamos saber como derivar funções que dependem de mais de uma variável quando essas variáveis também dependem de outra, no caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Isso significa que a derivada de em relação a será a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável multiplicada pela derivada dessa variável em relação a .
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. : Como , a derivada de em relação a é simplesmente .
  2. : Da mesma forma, derivando em relação a , temos .
  3. : Aqui, derivando em relação a , temos , já que aparece apenas uma vez e com coeficiente 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis em relação a :
  1. : Como , sua derivada é .
  2. : Com , a derivada é .
  3. : Já que , a derivada é .

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na expressão:
Isso dá:

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica :

Passo 8

Finalmente, queremos o valor dessa derivada quando :

Resposta

A derivada quando é igual a 2.

Exercícios relacionados

Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
f(x)=(x+1)^2
Seja f(x, y)=-- 8 x^5+5 x^3 y-2 y^2. Calcule:
c) Calcule o vetor gradiente Lambda =partial fpartial x(-1,2) i+partial fpartial y(-1,2) j
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b) y' = 2t / (y + t^2 y), y(0) = -2
Seja f(x, y) = -8x^5 + 5x^3y - 2y^2. Calcule:
b) encontre a derivada direcional no ponto P(1,2) na direção do vetor
v = (-2/3, 1/2)