Seja . Calcule:
b) encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular as derivadas parciais da função e usar um vetor de direção normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto dado e do vetor de direção unitário.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Então, o gradiente de no ponto é:
Passo 5
Agora, precisamos do vetor de direção unitário. Isso significa que vamos transformar o vetor em um vetor com comprimento 1.
Primeiro, calculamos o magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é 6,2.