Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações separáveis. Precisamos separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do lado direito. Observe que podemos fatorar
no denominador:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Dessa forma, todas as expressões com
ficam de um lado e com
do outro, facilitando a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo:
Do lado direito, temos:
Aqui, usamos uma substituição. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Como
, temos
.
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que a condição inicial
nos indica que a solução é negativa:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia para funções de mais de uma variável:
Encontre se
onde
. Qual é o valor desta derivada
?
Encontre
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
Seja
. Calcule:
b) encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor
b) encontre a derivada direcional no ponto
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
§ ( ) Se diverge, então
diverge;
§ ( ) Se