Uma esfera isolante maciça de raio R , tem uma densidade volumétrica de carga proporcional à distância ao centro: , para , onde A é uma constante e para R. a) Calcule a carga total, integrando cascas esféricas de espessura dr e volume . b) Calcule o campo elétrico para R e em seguida para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade envolvendo uma esfera isolante massiva de raio . A densidade volumétrica de carga é proporcional à distância ao centro, dada por para e para . A gente vai precisar usar conceitos de integração para calcular a carga total e o campo elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. Para isso, vamos integrar a densidade de carga em todas as camadas esféricas que formam a esfera. A densidade é , e o volume de uma casca esférica de espessura é .
Passo 3
A carga em uma casca esférica é . Agora, vamos integrar isso de até para encontrar a carga total :
Passo 4
Integrando , temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante :
Passo 6
Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em qualquer ponto da superfície gaussiana:
Passo 7
Substituindo :
Passo 8
Para , a carga interna só inclui até o raio . Vamos integrar a densidade de carga até :