Uma esfera isolante maciça de raio R , tem uma densidade volumétrica de carga proporcional à distância ao centro: , para , onde A é uma constante e para R. a) Calcule a carga total, integrando cascas esféricas de espessura dr e volume . b) Calcule o campo elétrico para R e em seguida para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade envolvendo uma esfera isolante massiva de raio . A densidade volumétrica de carga é proporcional à distância ao centro, dada por para e para . A gente vai precisar usar conceitos de integração para calcular a carga total e o campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. Para isso, vamos integrar a densidade de carga em todas as camadas esféricas que formam a esfera. A densidade é , e o volume de uma casca esférica de espessura é .

Passo 3

A carga em uma casca esférica é . Agora, vamos integrar isso de até para encontrar a carga total :

Passo 4

Integrando , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante :

Passo 6

Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em qualquer ponto da superfície gaussiana:

Passo 7

Substituindo :

Passo 8

Para , a carga interna só inclui até o raio . Vamos integrar a densidade de carga até :

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss novamente:

Resposta

a) A carga total da esfera é .
b) O campo elétrico é dado por:

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b) Qual o comprimento de onda limite para o sódio?
Usando as relações e
,
faça o cálculo da integral
e obtenha .