Uma esfera isolante maciça de raio R , tem uma densidade volumétrica de carga proporcional à distância ao centro:
, para
, onde A é uma constante e
para
R. a) Calcule a carga total, integrando cascas esféricas de espessura dr e volume
. b) Calcule o campo elétrico para
R e em seguida para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade envolvendo uma esfera isolante massiva de raio
. A densidade volumétrica de carga é proporcional à distância ao centro, dada por
para
e
para
. A gente vai precisar usar conceitos de integração para calcular a carga total e o campo elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. Para isso, vamos integrar a densidade de carga em todas as camadas esféricas que formam a esfera. A densidade é
, e o volume de uma casca esférica de espessura
é
.
Passo 3
A carga em uma casca esférica é
. Agora, vamos integrar isso de
até
para encontrar a carga total
:
Passo 4
Integrando
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante
:
Passo 6
Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em qualquer ponto da superfície gaussiana:
Passo 7
Substituindo
:
Passo 8
Para
, a carga interna
só inclui até o raio
. Vamos integrar a densidade de carga até
:
Passo 9
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resposta
a) A carga total da esfera é
.
b) O campo elétrico é dado por: