Uma esfera isolante maciça de raio R , tem uma densidade volumétrica de carga proporcional à distância ao centro: rho=Ar, para r <= R, onde A é uma constante e rho=0 para r> R. a) Calcule a carga total, integrando cascas esféricas de espessura dr e volume 4 pi^2 dr. b) Calcule o campo elétrico para r> R e em seguida para r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade envolvendo uma esfera isolante massiva de raio . A densidade volumétrica de carga é proporcional à distância ao centro, dada por para e para . A gente vai precisar usar conceitos de integração para calcular a carga total e o campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. Para isso, vamos integrar a densidade de carga em todas as camadas esféricas que formam a esfera. A densidade é , e o volume de uma casca esférica de espessura é .

Passo 3

A carga em uma casca esférica é Q = integral0^R 4pi A r^3 dr . Agora, vamos integrar isso de até para encontrar a carga total :

Passo 4

Integrando Q = 4pi A [ r^44 ]0^R = 4pi A ( R^44 - 0 ) = pi A R^4 , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela constante oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 :

Passo 6

Para E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 Rightarrow E = Q4pi varepsilon0 r^2 , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. A simetria esférica nos permite dizer que o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em qualquer ponto da superfície gaussiana:

Passo 7

Substituindo E = pi A R^44pi varepsilon0 r^2 = A R^44 varepsilon0 r^2 :

Passo 8

Para Qinterno = integral0^r 4pi A r'^3 dr' = 4pi A [ r'^44 ]0^r = pi A r^4 , a carga interna só inclui até o raio . Vamos integrar a densidade de carga até :

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0 Rightarrow E = Qinterno4pi varepsilon0 r^2 = pi A r^44pi varepsilon0 r^2 = A r^24 varepsilon0

Resposta

a) A carga total da esfera é E = A r^24 varepsilon0 & para r < R A R^44 varepsilon0 r^2 & para r > R .
b) O campo elétrico é dado por:

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