Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determine os valores de
e
associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de momento angular! A questão nos dá os operadores do momento angular orbital nas coordenadas esféricas e um harmônico esférico específico. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
que correspondem a esse harmônico. Para isso, vamos precisar entender como os operadores agem sobre os harmônicos esféricos e usar isso para encontrar os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o operador
, que está relacionado ao componente
do momento angular. Esse operador age sobre o harmônico esférico
da seguinte maneira:
Isso significa que, ao aplicarmos
no harmônico dado, o resultado será o próprio harmônico multiplicado por
. Vamos então aplicar o operador no nosso
específico:
Calculando a derivada em relação a
:
Então:
Comparando com a equação inicial:
Vemos que
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o valor de
usando o operador
. Sabemos que:
Para encontrar
, precisamos relacionar a função angular
com os harmônicos esféricos conhecidos. Sabemos que
pode ser escrita como
, o que é típico para
. Além disso, os harmônicos esféricos para
incluem funções como
.
Portanto, concluímos que
.
Resposta
Os valores associados são
e
.