Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
ellz=hbari partialpartial phi, ell^2=-hbar^2(cos thetasin theta partialpartial theta+partial^2partial theta^2+1sin ^2 theta partial^2partial phi^2)
Determine os valores de ell e mell associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Yell, mell=raiz1532 pi sin (2 theta) e^i phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de momento angular! A questão nos dá os operadores do momento angular orbital nas coordenadas esféricas e um harmônico esférico específico. Nosso objetivo é descobrir os valores de ell e mell que correspondem a esse harmônico. Para isso, vamos precisar entender como os operadores agem sobre os harmônicos esféricos e usar isso para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o operador ellz, que está relacionado ao componente z do momento angular. Esse operador age sobre o harmônico esférico Yell, mell da seguinte maneira:
ellz Yell, mell = mell hbar Yell, mell
Isso significa que, ao aplicarmos ellz no harmônico dado, o resultado será o próprio harmônico multiplicado por mell hbar. Vamos então aplicar o operador no nosso Yell, mell específico:
ellz ( raiz1532 pi sin (2 theta) e^i phi ) = hbari partialpartial phi ( raiz1532 pi sin (2 theta) e^i phi )
Calculando a derivada em relação a phi:
partialpartial phi ( e^i phi ) = i e^i phi
Então:
ellz Yell, mell = hbari cdot i e^i phi cdot raiz1532 pi sin (2 theta) = hbar Yell, mell
Comparando com a equação inicial:
ellz Yell, mell = mell hbar Yell, mell
Vemos que mell = 1.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o valor de ell usando o operador ell^2. Sabemos que:
ell^2 Yell, mell = hbar^2 ell (ell + 1) Yell, mell
Para encontrar ell, precisamos relacionar a função angular sin(2theta) com os harmônicos esféricos conhecidos. Sabemos que sin(2theta) pode ser escrita como 2 sin theta cos theta, o que é típico para ell = 2. Além disso, os harmônicos esféricos para ell = 2 incluem funções como sin(2theta) e^iphi.
Portanto, concluímos que ell = 2.

Resposta

Os valores associados são ell = 2 e mell = 1.

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