A partir do operador
, mostre que em coordenadas esféricas,
.
Dica: Regra da cadeia para diferenciação parcial:
Dica: Regra da cadeia para diferenciação parcial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente partir do operador de momento angular
, que está em coordenadas cartesianas, e mostrar que, em coordenadas esféricas, ele fica
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para diferenciação parcial, que ajuda a transformar derivadas de uma coordenada para outra. Precisaremos lembrar como as coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas e como os operadores de momento são expressos em cada sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
. As relações são:
Essas fórmulas vão nos ajudar a expressar os operadores
e
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como os operadores de momento
e
são definidos. No espaço de posição, eles são dados por:
Precisamos expressar essas derivadas parciais em termos das coordenadas esféricas usando a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para a derivada em relação a
, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a derivada parcial em
fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir isso na expressão do operador
:
Substituindo
e
pelas expressões em esféricas:
Usando a expressão da derivada em
do Passo 4, percebemos que:
Portanto:
Resposta
Então, demostramos que em coordenadas esféricas, o operador de momento angular na direção z é
.