A partir do operador ellz=x py-y px, mostre que em coordenadas esféricas, ellz=hbari partialpartial phi.
Dica: Regra da cadeia para diferenciação parcial: partialpartial phi=partial xpartial phi partialpartial x+partial ypartial phi partialpartial y+partial zpartial phi partialpartial z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente partir do operador de momento angular , que está em coordenadas cartesianas, e mostrar que, em coordenadas esféricas, ele fica . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para diferenciação parcial, que ajuda a transformar derivadas de uma coordenada para outra. Precisaremos lembrar como as coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas e como os operadores de momento são expressos em cada sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter as coordenadas cartesianas x = r sintheta cosphi para coordenadas esféricas y = r sintheta sinphi . As relações são:
z = r costheta
Essas fórmulas vão nos ajudar a expressar os operadores e em termos de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como os operadores de momento px = -ihbar partialpartial x e py = -ihbar partialpartial y são definidos. No espaço de posição, eles são dados por:
Precisamos expressar essas derivadas parciais em termos das coordenadas esféricas usando a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para a derivada em relação a partialpartial phi = partial xpartial phi partialpartial x + partial ypartial phi partialpartial y + partial zpartial phi partialpartial z , temos:
partial xpartial phi = -r sintheta sinphi
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial phi = r sintheta cosphi
partial zpartial phi = 0
partialpartial phi = -r sintheta sinphi partialpartial x + r sintheta cosphi partialpartial y
Então, a derivada parcial em fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir isso na expressão do operador ellz = x py - y px = x (-ihbar) partialpartial y - y (-ihbar) partialpartial x :
= -ihbar (x partialpartial y - y partialpartial x)
x partialpartial y - y partialpartial x = r sintheta cosphi partialpartial y - r sintheta sinphi partialpartial x
Substituindo x partialpartial y - y partialpartial x = partialpartial phi e ellz = -ihbar partialpartial phi = hbari partialpartial phi pelas expressões em esféricas:
Usando a expressão da derivada em do Passo 4, percebemos que:
Portanto:

Resposta

Então, demostramos que em coordenadas esféricas, o operador de momento angular na direção z é .

Exercícios relacionados