Usando série de Taylor, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que
pode ser expandido como uma série de Taylor, ou seja:
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a série de Taylor é construída para a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Ou seja, a função é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas avaliadas em 0.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Primeiro, calculemos
:
Passo 4
Em seguida, calculemos a primeira derivada
:
Agora, avaliando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada
:
Avaliação em
:
Passo 6
Agora, podemos construir os primeiros termos da série de Taylor usando os resultados que obtivemos:
Substituindo os valores:
Resposta
Portanto, usando a série de Taylor, mostramos que: