Usando série de Taylor, mostre que: (1+x)^n=1+n x+n(n-1) x^2 / 2!+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que (1+x)^n = 1 + n x + n(n-1)2! x^2 + ldots pode ser expandido como uma série de Taylor, ou seja:
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a série de Taylor é construída para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + ldots em torno de (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Ou seja, a função é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas avaliadas em 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função f(0) = (1 + 0)^n = 1 . Precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeiro, calculemos :

Passo 4

Em seguida, calculemos a primeira derivada f'(x) = ddx(1 + x)^n = n(1 + x)^n-1 :
f'(0) = n(1 + 0)^n-1 = n
Agora, avaliando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada f''(x) = ddx [ n(1 + x)^n-1 ] = n(n-1)(1 + x)^n-2 :
f''(0) = n(n-1)(1 + 0)^n-2 = n(n-1)
Avaliação em :

Passo 6

Agora, podemos construir os primeiros termos da série de Taylor usando os resultados que obtivemos:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + ldots
Substituindo os valores:
(1 + x)^n = 1 + n x + n(n-1)2!x^2 + ldots

Resposta

Portanto, usando a série de Taylor, mostramos que:
(1 + x)^n = 1 + n x + n(n-1)2!x^2 + ldots

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