Usando série de Taylor, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que pode ser expandido como uma série de Taylor, ou seja:
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como a série de Taylor é construída para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Ou seja, a função é expressa como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas avaliadas em 0.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeiro, calculemos :

Passo 4

Em seguida, calculemos a primeira derivada :
Agora, avaliando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada :
Avaliação em :

Passo 6

Agora, podemos construir os primeiros termos da série de Taylor usando os resultados que obtivemos:
Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, usando a série de Taylor, mostramos que:

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