Determine a solução do problema de valor inicial:
x'' + x = F(t), x(0) = 0, x'(0) = 0
onde F(t) = F0 t, se 0 <= t <= pi ; F(t) = F0(2 pi - t), se pi < t <= 2 pi; e F(t)=0, se t > 2 pi. Dica: Trate separadamente cada intervalo de tempo e use condições de continuidade ao passarmos de um intervalo para outro, i.é, x e x' devem ser funções contínuas de t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo , onde e . O é uma função que muda dependendo do intervalo de tempo:
  • para
  • para
  • para
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas e considerar cada intervalo de tempo separadamente, garantindo que e sejam contínuos quando mudarmos de intervalo. Isso envolve encontrar a solução para cada pedaço e aplicar as condições de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução geral dessa equação é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para cada intervalo de .
Para , onde :
Vamos tentar uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral para é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais e :
Para :
Para :
Em :
Então, a solução para o primeiro intervalo é:

Passo 5

Para , onde :
Primeiro, a equação fica:
Vamos procurar uma solução particular . Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral para é:
Precisamos agora garantir a continuidade em . Isso significa que e .
Calculando :
E :
Agora, aplicando essas condições na solução :
Para :
Para :
Então, a solução para o segundo intervalo é:

Passo 7

Para , onde :
A equação fica homogênea:
A solução geral é:
Precisamos garantir a continuidade em :
Calculando :
E :
Aplicando essas condições na solução :
Para :
Para :
Então, a solução para é:

Resposta

A solução completa do problema de valor inicial é:

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