Determine a solução do problema de valor inicial:
onde
, se
, se
; e
, se
. Dica: Trate separadamente cada intervalo de tempo e use condições de continuidade ao passarmos de um intervalo para outro, i.é,
e
devem ser funções contínuas de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo
, onde
e
. O
é uma função que muda dependendo do intervalo de tempo:
-
para -
para -
para
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas e considerar cada intervalo de tempo separadamente, garantindo que
e
sejam contínuos quando mudarmos de intervalo. Isso envolve encontrar a solução para cada pedaço e aplicar as condições de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para cada intervalo de
.
Para
, onde
:
Vamos tentar uma solução particular da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral para
é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
:
Para
:
Para
:
Em
:
Então, a solução para o primeiro intervalo é:
Passo 5
Para
, onde
:
Primeiro, a equação fica:
Vamos procurar uma solução particular
. Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral para
é:
Precisamos agora garantir a continuidade em
. Isso significa que
e
.
Calculando
:
E
:
Agora, aplicando essas condições na solução
:
Para
:
Para
:
Então, a solução para o segundo intervalo é:
Passo 7
Para
, onde
:
A equação fica homogênea:
A solução geral é:
Precisamos garantir a continuidade em
:
Calculando
:
E
:
Aplicando essas condições na solução
:
Para
:
Para
:
Então, a solução para
é:
Resposta
A solução completa do problema de valor inicial é: