Windoo Método de Exaustäa de Arquímeder, eneontre barintegrala^b x d x, ande 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para usar o Método de Exaustão de Arquimedes para encontrar a integral de de até , onde . Basicamente, a matéria envolve Cálculo Integral e conceitos de limites e somas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar a área sob uma curva usando métodos de soma, que é exatamente o que o método de exaustão faz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral definida. A integral de de até , representada por , nos dá a área sob a curva da função entre os limites e .

Passo 3

O Método de Exaustão de Arquimedes é uma técnica antiga que aproxima a área sob uma curva usando polígonos com mais e mais lados, ficando cada vez mais próximos da curva. A ideia é dividir o intervalo em pequenas partes, calcular áreas de retângulos ou trapézios nessas partes e somar tudo isso para aproximar a área total.

Passo 4

Vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo será:

Passo 5

Em cada subintervalo, escolhemos um ponto xi = a + i cdot De para calcular a altura do retângulo. Usaremos o ponto direito para facilitar, então:

Passo 6

A área de cada retângulo será a altura Ai = f(xi) cdot De vezes a largura :

Passo 7

A área total aproximada sob a curva será a soma das áreas de todos os retângulos:
A approx sumi=1^n Ai = sumi=1^n xi cdot De

Passo 8

Substituindo A approx sumi=1^n (a + i cdot b - an) cdot b - an e A approx (b - a)n sumi=1^n (a + i cdot b - an) :
Simplificando:

Passo 9

Expandindo a soma:
A approx (b - a)n ( sumi=1^n a + sumi=1^n i cdot b - an )
A approx (b - a)n ( a cdot n + b - an cdot n(n + 1)2 )

Passo 10

Simplificando os termos:
A approx (b - a)a + (b - a)^2 (n + 1)2n

Passo 11

Agora, aplicamos o limite quando limn to infty [ (b - a)a + (b - a)^2 (n + 1)2n ] = (b - a)a + (b - a)^22 tende ao infinito para obter a área exata:

Passo 12

Simplificando a expressão final:
A = (b - a)a + (b - a)^22 = a(b - a) + (b - a)^22
A = ab - a^2 + b^2 - 2ab + a^22 = 2ab - 2a^2 + b^2 - 2ab + a^22 = b^2 - a^22

Resposta

Portanto, a integral de integrala^b x , dx = b^2 - a^22 de até é:

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