Windoo Método de Exaustäa de Arquímeder, eneontre
, ande
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para usar o Método de Exaustão de Arquimedes para encontrar a integral de
de
até
, onde
. Basicamente, a matéria envolve Cálculo Integral e conceitos de limites e somas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar a área sob uma curva usando métodos de soma, que é exatamente o que o método de exaustão faz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral definida. A integral de
de
até
, representada por
, nos dá a área sob a curva da função
entre os limites
e
.
Passo 3
O Método de Exaustão de Arquimedes é uma técnica antiga que aproxima a área sob uma curva usando polígonos com mais e mais lados, ficando cada vez mais próximos da curva. A ideia é dividir o intervalo
em pequenas partes, calcular áreas de retângulos ou trapézios nessas partes e somar tudo isso para aproximar a área total.
Passo 4
Vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo será:
Passo 5
Em cada subintervalo, escolhemos um ponto
para calcular a altura do retângulo. Usaremos o ponto direito para facilitar, então:
Passo 6
A área de cada retângulo será a altura
vezes a largura
:
Passo 7
A área total aproximada sob a curva será a soma das áreas de todos os retângulos:
Passo 8
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 9
Expandindo a soma:
Passo 10
Simplificando os termos:
Passo 11
Agora, aplicamos o limite quando
tende ao infinito para obter a área exata:
Passo 12
Simplificando a expressão final:
Resposta
Portanto, a integral de
de
até
é: