Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é a superfície da região delimitada pelo cilindro parabólico
e os planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície
. O enunciado nos pede para usar o Teorema da Divergente, que basicamente relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergente desse campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Então, vamos precisar:
- Entender o que é o Teorema da Divergente.
- Calcular a divergente do campo
. - Identificar e descrever o volume limitado pela superfície
. - Configurar e resolver a integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente do campo vetorial
.
A divergente de um campo
é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
(porque a derivada de em relação a é zero) -
(já que não depende de )
Então, a divergente de
é:
Passo 3
Agora, vamos entender qual é o volume delimitado pela superfície
. Segundo o enunciado,
é a superfície da região limitada pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
.
Vamos visualizar isso:
- O cilindro parabólico
abre para baixo e intercepta o plano quando , ou seja, em . - O plano
é o plano onde . - O plano
inclina-se de modo que, quando , , e quando , .
Então, o volume
que queremos é onde:
-
varia de 0 até , -
varia de 0 até , -
varia entre os limites que fazem .
Passo 4
Agora que temos a divergente e entendemos o volume, vamos aplicar o Teorema da Divergente. O teorema nos diz que:
Já calculamos
, então a integral se torna:
Vamos configurar essa integral tripla nos limites que identificamos no passo anterior. Em coordenadas cartesianas, os limites são:
-
varia de a (pois quando , ), - Para cada
, varia de até , - Para cada
, varia de até .
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Vamos expandir
e integrar em relação a
:
Calculando a integral em
:
Substituindo os limites:
Agora, nossa integral fica:
Devido à simetria da função em relação a
, podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Agora, expandimos cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por 3:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
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Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
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, onde:
e
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é fronteira do cilindro
e
o vetor normal unitário apontado para fora de