Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e é a superfície da região delimitada pelo cilindro parabólico e os planos e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . O enunciado nos pede para usar o Teorema da Divergente, que basicamente relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergente desse campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Então, vamos precisar:
  • Entender o que é o Teorema da Divergente.
  • Calcular a divergente do campo .
  • Identificar e descrever o volume limitado pela superfície .
  • Configurar e resolver a integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente do campo vetorial .
A divergente de um campo é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • (porque a derivada de em relação a é zero)
  • (já que não depende de )
Então, a divergente de é:

Passo 3

Agora, vamos entender qual é o volume delimitado pela superfície . Segundo o enunciado, é a superfície da região limitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e .
Vamos visualizar isso:
  • O cilindro parabólico abre para baixo e intercepta o plano quando , ou seja, em .
  • O plano é o plano onde .
  • O plano inclina-se de modo que, quando , , e quando , .
Então, o volume que queremos é onde:
  • varia de 0 até ,
  • varia de 0 até ,
  • varia entre os limites que fazem .

Passo 4

Agora que temos a divergente e entendemos o volume, vamos aplicar o Teorema da Divergente. O teorema nos diz que:
Já calculamos , então a integral se torna:
Vamos configurar essa integral tripla nos limites que identificamos no passo anterior. Em coordenadas cartesianas, os limites são:
  • varia de a (pois quando , ),
  • Para cada , varia de até ,
  • Para cada , varia de até .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Vamos expandir e integrar em relação a :
Calculando a integral em :
Substituindo os limites:
Agora, nossa integral fica:
Devido à simetria da função em relação a , podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Agora, expandimos cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo :
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por 3:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e é fronteira do cilindro e o vetor normal unitário apontado para fora de