Usando o Teorema do Divergente, calcule integral duplaS F d S, onde: F(x, y, z)=x y i+(y^2+e^x z^2) j+sin (x y) k e S é a superfície da região delimitada pelo cilindro parabólico z=1-x^2 e os planos z=0, y=0 e y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . O enunciado nos pede para usar o Teorema da Divergente, que basicamente relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergente desse campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Então, vamos precisar:
  • Entender o que é o Teorema da Divergente.
  • Calcular a divergente do campo .
  • Identificar e descrever o volume limitado pela superfície .
  • Configurar e resolver a integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente do campo vetorial nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z .
A divergente de um campo nabla cdot F = y + 2y + 0 = 3y é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • (porque a derivada de em relação a é zero)
  • (já que não depende de )
Então, a divergente de é:

Passo 3

Agora, vamos entender qual é o volume delimitado pela superfície . Segundo o enunciado, é a superfície da região limitada pelo cilindro parabólico e pelos planos , e .
Vamos visualizar isso:
  • O cilindro parabólico abre para baixo e intercepta o plano quando , ou seja, em .
  • O plano é o plano onde .
  • O plano inclina-se de modo que, quando , , e quando , .
Então, o volume que queremos é onde:
  • varia de 0 até ,
  • varia de 0 até ,
  • varia entre os limites que fazem .

Passo 4

Agora que temos a divergente e entendemos o volume, vamos aplicar o Teorema da Divergente. O teorema nos diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Já calculamos integral triplaV 3y , dV , então a integral se torna:
integral-1^1 integral0^1 - x^2 integral0^2 - z 3y , dy , dz , dx
Vamos configurar essa integral tripla nos limites que identificamos no passo anterior. Em coordenadas cartesianas, os limites são:
  • varia de a (pois quando , ),
  • Para cada , varia de até ,
  • Para cada , varia de até .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 - z 3y , dy = 3 [ y^22 ]0^2 - z = 3 ( (2 - z)^22 - 0 ) = 32 (2 - z)^2 :
32 integral-1^1 integral0^1 - x^2 (2 - z)^2 , dz , dx
Agora, a integral fica:
32 integral-1^1 [ integral0^1 - x^2 (4 - 4z + z^2) , dz ] dx
Vamos expandir integral0^1 - x^2 (4 - 4z + z^2) , dz = [ 4z - 2z^2 + z^33 ]0^1 - x^2 e integrar em relação a 4(1 - x^2) - 2(1 - x^2)^2 + (1 - x^2)^33 - 0 :
32 integral-1^1 [ 4(1 - x^2) - 2(1 - x^2)^2 + (1 - x^2)^33 ] dx
Calculando a integral em 3 integral0^1 [ 4(1 - x^2) - 2(1 - x^2)^2 + (1 - x^2)^33 ] dx :
4(1 - x^2) = 4 - 4x^2
Substituindo os limites:
-2(1 - x^2)^2 = -2(1 - 2x^2 + x^4) = -2 + 4x^2 - 2x^4
Agora, nossa integral fica:
(1 - x^2)^33 = 1 - 3x^2 + 3x^4 - x^63 = 13 - x^2 + x^4 - x^63
Devido à simetria da função em relação a (4 - 4x^2) + (-2 + 4x^2 - 2x^4) + (13 - x^2 + x^4 - x^63) = 2 + (-x^2) - x^4 - x^63 + 13 , podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
2 + 13 - x^2 - x^4 - x^63 = 73 - x^2 - x^4 - x^63
Agora, expandimos cada termo:
3 integral0^1 ( 73 - x^2 - x^4 - x^63 ) dx = 3 [ 73x - x^33 - x^55 - x^721 ]0^1
3 ( 73 - 13 - 15 - 121 ) = 3 ( 73 - 13 - 15 - 121 )
73 - 13 = 63 = 2
Somando tudo:
2 - 15 - 121 = 2 - ( 21 + 5105 ) = 2 - 26105 = 210105 - 26105 = 184105
Simplificando:
3 times 184105 = 552105 = 18435
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo :
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por 3:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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