Usando o Teorema do Divergente, calcule integral duplaS F d S, onde: F(x, y, z)=x y i+y z j+z^2 k e S=(x, y, z) in R^3: 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, 0 <= z <= 4 e eta o vetor normal unitário apontado para fora de S

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS usando o Teorema da Divergente.
Conteúdo: Teorema da Divergente, cálculo da divergência de um campo vetorial e integrais triplas.
O que precisamos:
  1. Calcular a divergência de F.
  2. Configurar e calcular a integral tripla sobre a região V delimitada por S.

Passo 2

Primeiro, encontramos a divergência de F:
F(x, y, z) = xy,i + yz,j + z^2,k
A divergência é dada por:
div ,F = partial (xy)partial x + partial (yz)partial y + partial (z^2)partial z = y + z + 2z = y + 3z

Passo 3

Agora, configuramos a integral tripla sobre a região V definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= 4:
integral triplaV div ,F, dV = integral0^1 integral0^x integral0^4 (y + 3z), dz, dy, dx

Passo 4

Integramos em relação a z:
integral0^4 (y + 3z), dz = y cdot z + 32 z^2 |0^4 = y cdot 4 + 32 cdot 16 = 4y + 24

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a y:
integral0^x (4y + 24), dy = 2y^2 + 24y |0^x = 2x^2 + 24x

Passo 6

Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 (2x^2 + 24x), dx = 23x^3 + 12x^2 |0^1 = 23 + 12 = 383

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac383.

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