Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e o vetor normal unitário apontado para fora de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície , onde e é dado por e . Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo a esse conjunto de superfícies.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss) relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente de sobre o volume delimitado por . A fórmula é:
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla do divergente de sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos descrever o volume delimitado por . A região é definida por:
Isso significa que, para cada no disco , varia de até .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Divergente:
Então, a integral de superfície é igual ao volume do conjunto .

Passo 6

Vamos calcular o volume . Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a região é circular no plano - . Em coordenadas cilíndricas:
  • O elemento de volume
Os limites de integração são:
  • vai de a (já que )
  • vai de a
  • vai de a

Passo 7

Agora, configuramos a integral tripla para o volume:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

Portanto,

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