Usando o Teorema do Divergente, calcule integral duplaS F d S, onde: F(x, y, z)=3 x y i+-3 / 2 y^2 j+z k e S=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2 <= 1, x^2 <= z <= 5-x^2-y^2 e eta o vetor normal unitário apontado para fora de S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS, onde F(x, y, z) = 3xy,i - 32y^2,j + z,k e S é dado por x^2 + y^2 <= 1 e x^2 <= z <= 5 - x^2 - y^2. Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo a esse conjunto de superfícies.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss) relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S com a integral do divergente de F sobre o volume V delimitado por S. A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla do divergente de F sobre o volume V.

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dado por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso campo F:
  • P = 3xy
  • Q = -32y^2
  • R = z
Então,
nabla cdot F = partialpartial x(3xy) + partialpartial y(-32y^2) + partialpartial z(z) = 3y - 3y + 1 = 1

Passo 4

Agora, precisamos descrever o volume V delimitado por S. A região é definida por:
x^2 + y^2 <= 1
x^2 <= z <= 5 - x^2 - y^2
Isso significa que, para cada (x, y) no disco x^2 + y^2 <= 1, z varia de x^2 até 5 - x^2 - y^2.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Divergente:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 1 , dV = Volume de V
Então, a integral de superfície é igual ao volume do conjunto V.

Passo 6

Vamos calcular o volume V. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a região é circular no plano x- y. Em coordenadas cilíndricas:
  • x = rcostheta
  • y = rsintheta
  • z = z
  • O elemento de volume dV = r,dz,dr,dtheta
Os limites de integração são:
  • r vai de 0 a 1 (já que x^2 + y^2 <= 1)
  • theta vai de 0 a 2pi
  • z vai de r^2 a 5 - r^2 - r^2 = 5 - 2r^2

Passo 7

Agora, configuramos a integral tripla para o volume:
Volume = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^5 - 2r^2 r, dz, dr, dtheta
Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^2^5 - 2r^2 dz = (5 - 2r^2) - r^2 = 5 - 3r^2
Então, a integral fica:
Volume = integral0^2pi integral0^1 r (5 - 3r^2) dr, dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a r:
integral0^1 r (5 - 3r^2) dr = integral0^1 5r - 3r^3 dr = [52r^2 - 34r^4]0^1 = 52 - 34 = 104 - 34 = 74
Agora, a integral fica:
Volume = integral0^2pi 74 dtheta = 74 times 2pi = 72pi

Resposta

Portanto, integral duplaS F cdot dS = 72pi

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