Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
, onde
e
é dado por
e
. Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo a esse conjunto de superfícies.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Divergente (também conhecido como Teorema de Gauss) relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
com a integral do divergente de
sobre o volume
delimitado por
. A fórmula é:
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral tripla do divergente de
sobre o volume
.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos descrever o volume
delimitado por
. A região é definida por:
Isso significa que, para cada
no disco
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Divergente:
Então, a integral de superfície é igual ao volume do conjunto
.
Passo 6
Vamos calcular o volume
. Podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a região é circular no plano
-
. Em coordenadas cilíndricas:
-
-
-
- O elemento de volume
Os limites de integração são:
-
vai de a (já que ) -
vai de a -
vai de a
Passo 7
Agora, configuramos a integral tripla para o volume:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral
, onde:
e
é dada por
com
, sendo
o vetor normal apontado para cima
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é a superfície da região delimitada pelo cilindro parabólico
e os planos
e
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
e o vetor normal unitário apontado para fora de