Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde: e é dada por com , sendo o vetor normal apontado para cima
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial. O objetivo é calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é definida pela parábola dentro do círculo , e é o vetor normal apontando para cima. Vamos precisar entender o que é o rotacional (ou rotor) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional, denotado por ou , nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de cada ponto.
rot(F) = (1 - 0), i - (1 - 0), j + (0 - 1), k = i - j - k
Passo 3
Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície. Matematicamente, é expresso por:
integral duplaS rot(F) cdot eta , dS = ointpartial S F cdot dr
Onde partial S é a borda da superfície S.
No nosso caso, a superfície S é a parábola z = 2 - x^2 - y^2, limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 1. Então, a fronteira partial S é justamente esse círculo no plano z = 1 (quando x^2 + y^2 = 1, z = 2 - 1 = 1).
Passo 4
Vamos parametrizar a curva de fronteira partial S. Como é um círculo no plano z = 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar.
Parametrização:
r(theta) = (costheta, sintheta, 1), theta in [0, 2pi]
O vetor diferencial dr é a derivada de r(theta) em relação a theta:
dr = (-sintheta, i + costheta, j + 0, k) dtheta
Passo 5
Agora, vamos substituir a parametrização na integral de linha:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi F(r(theta)) cdot dr
Substituindo r(theta) em F:
F(r(theta)) = y, i + (x + y), k = sintheta, i + (costheta + sintheta), k
E substituindo dr:
dr = (-sintheta, i + costheta, j) dtheta
Calculando o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (sintheta)(-sintheta) + (costheta + sintheta)(0) = -sin^2theta