Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde: e é dada por com , sendo o vetor normal apontado para cima

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial. O objetivo é calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é definida pela parábola dentro do círculo , e é o vetor normal apontando para cima. Vamos precisar entender o que é o rotacional (ou rotor) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional, denotado por ou , nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de cada ponto.
Dados:
Calculando o rotacional:
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos o rotacional de , vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície. Matematicamente, é expresso por:
Onde é a borda da superfície .
No nosso caso, a superfície é a parábola , limitada pelo círculo . Então, a fronteira é justamente esse círculo no plano (quando , ).

Passo 4

Vamos parametrizar a curva de fronteira . Como é um círculo no plano , podemos usar coordenadas polares para facilitar.
Parametrização:
O vetor diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir a parametrização na integral de linha:
Substituindo em :
E substituindo :
Calculando o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar de a :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde é a imagem de uma triângulo constituída pelos segmentos de reta de a , de a e de .
Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e e o vetor normal unitário apontado para fora de