Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral integral duplaS rot(F) cdot eta d S, onde: F(x, y, z)=y i+(x+y) k e S é dada por (x, y, 2-x^2-y^2) com x^2+y^2 <= 1, sendo eta o vetor normal apontado para cima

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial. O objetivo é calcular a integral de superfície integral duplaS rot(F) cdot eta , dS, onde o campo vetorial F é dado por F(x, y, z) = y, i + (x + y), k. A superfície S é definida pela parábola (x, y, 2 - x^2 - y^2) dentro do círculo x^2 + y^2 <= 1, e eta é o vetor normal apontando para cima. Vamos precisar entender o que é o rotacional (ou rotor) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional, denotado por rot(F) ou nabla times F, nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de cada ponto.
Dados:
F(x, y, z) = y, i + (x + y), k
Calculando o rotacional:
rot(F) = nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & 0 & x + y
Expandindo o determinante:
rot(F) = ( partialpartial y(x + y) - partialpartial z(0) ) i - ( partialpartial x(x + y) - partialpartial z(y) ) j + ( partialpartial x(0) - partialpartial y(y) ) k
Simplificando:
rot(F) = (1 - 0), i - (1 - 0), j + (0 - 1), k = i - j - k

Passo 3

Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície. Matematicamente, é expresso por:
integral duplaS rot(F) cdot eta , dS = ointpartial S F cdot dr
Onde partial S é a borda da superfície S.
No nosso caso, a superfície S é a parábola z = 2 - x^2 - y^2, limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 1. Então, a fronteira partial S é justamente esse círculo no plano z = 1 (quando x^2 + y^2 = 1, z = 2 - 1 = 1).

Passo 4

Vamos parametrizar a curva de fronteira partial S. Como é um círculo no plano z = 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar.
Parametrização:
r(theta) = (costheta, sintheta, 1), theta in [0, 2pi]
O vetor diferencial dr é a derivada de r(theta) em relação a theta:
dr = (-sintheta, i + costheta, j + 0, k) dtheta

Passo 5

Agora, vamos substituir a parametrização na integral de linha:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi F(r(theta)) cdot dr
Substituindo r(theta) em F:
F(r(theta)) = y, i + (x + y), k = sintheta, i + (costheta + sintheta), k
E substituindo dr:
dr = (-sintheta, i + costheta, j) dtheta
Calculando o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (sintheta)(-sintheta) + (costheta + sintheta)(0) = -sin^2theta

Passo 6

Agora, vamos integrar - sin^2theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi -sin^2theta , dtheta = -integral0^2pi sin^2theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^2theta , dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C
Portanto:
- [ theta2 - sin(2theta)4 ]0^2pi = - ( 2pi2 - sin(4pi)4 - ( 0 - sin(0)4 ) ) = -pi

Resposta

A integral integral duplaS rot(F) cdot eta , dS vale - pi.

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