Determine os valores de partial zpartial x e partial zpartial y em P(pi,-pi, pi) para
sin (x+y)+sin (y+z)+sin (x+z)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das derivadas parciais sin (x+y) + sin (y+z) + sin (x+z) = 0 e no ponto para a equação:
Esse problema está relacionado a derivadas parciais e funções implícitas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar a equação em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a partialpartial x sin(x + y) = cos(x + y) cdot (1 + 0) = cos(x + y) . Lembre-se que partialpartial x sin(y + z) = cos(y + z) cdot (0 + partial zpartial x) = cos(y + z) cdot partial zpartial x é uma função de partialpartial x sin(x + z) = cos(x + z) cdot (1 + partial zpartial x) = cos(x + z) cdot (1 + partial zpartial x) e cos(x + y) + cos(y + z) cdot partial zpartial x + cos(x + z) cdot (1 + partial zpartial x) = 0 , então quando derivamos em relação a , aplicamos a derivada parcial .
Derivando cada termo:
Colocando tudo junto:

Passo 3

Agora, vamos resolver em relação a cos(y + z) cdot partial zpartial x + cos(x + z) cdot partial zpartial x + cos(x + z) + cos(x + y) = 0 . Primeiro, vamos agrupar os termos que contêm [cos(y + z) + cos(x + z)] cdot partial zpartial x = -[cos(x + z) + cos(x + y)] :
partial zpartial x = -[cos(x + z) + cos(x + y)] cos(y + z) + cos(x + z)
Fatorando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular cos(x + y) = cos(pi + (-pi)) = cos(0) = 1 no ponto cos(y + z) = cos(-pi + pi) = cos(0) = 1 . Primeiro, substituímos cos(x + z) = cos(pi + pi) = cos(2pi) = 1 , partial zpartial x = -[1 + 1] 1 + 1 = -22 = -1 e nas funções trigonométricas:
Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação original em relação a partialpartial y sin(x + y) = cos(x + y) cdot (1 + 0) = cos(x + y) para encontrar partialpartial y sin(y + z) = cos(y + z) cdot (1 + partial zpartial y) = cos(y + z) cdot (1 + partial zpartial y) . Seguindo o mesmo processo:
Derivando cada termo:
partialpartial y sin(x + z) = cos(x + z) cdot (0 + partial zpartial y) = cos(x + z) cdot partial zpartial y
cos(x + y) + cos(y + z) cdot (1 + partial zpartial y) + cos(x + z) cdot partial zpartial y = 0
Montando tudo:

Passo 6

Vamos resolver para cos(x + y) + cos(y + z) + cos(y + z) cdot partial zpartial y + cos(x + z) cdot partial zpartial y = 0 :
Primeiro, distribua os termos:
[cos(y + z) + cos(x + z)] cdot partial zpartial y = -[cos(x + y) + cos(y + z)]
Agrupando os termos com partial zpartial y = -[cos(x + y) + cos(y + z)] cos(y + z) + cos(x + z) :
Então:

Passo 7

Agora, substituímos cos(x + y) = cos(pi + (-pi)) = cos(0) = 1 , cos(y + z) = cos(-pi + pi) = cos(0) = 1 e cos(x + z) = cos(pi + pi) = cos(2pi) = 1 na expressão de partial zpartial y = -[1 + 1] 1 + 1 = -22 = -1 :
Substituindo esses valores:

Resposta

Em partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1 , temos:

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