Determine os valores de
e
em
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das derivadas parciais
e
no ponto
para a equação:
Esse problema está relacionado a derivadas parciais e funções implícitas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar a equação em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos
em relação a
, aplicamos a derivada parcial
.
Derivando cada termo:
Colocando tudo junto:
Passo 3
Agora, vamos resolver em relação a
. Primeiro, vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
no ponto
. Primeiro, substituímos
,
e
nas funções trigonométricas:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos derivar a equação original em relação a
para encontrar
. Seguindo o mesmo processo:
Derivando cada termo:
Montando tudo:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Primeiro, distribua os termos:
Agrupando os termos com
:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
na expressão de
:
Substituindo esses valores:
Resposta
Em
, temos:
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(g)
(g)
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Determine a solução do PVI:
.