Um objeto condutor tem uma cavidade oca em seu interior. Se uma carga puntual for introduzida na cavidade, demonstre que a carga - q será induzida na superfície da cavidade. (Use a lei de Gauss.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um objeto condutor que tem uma cavidade oca dentro dele. A gente coloca uma carga pontual nessa cavidade e precisa mostrar que uma carga de vai aparecer na superfície da cavidade. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um condutor em equilíbrio eletrostático. Dentro de um condutor, os campos elétricos são nulos. Isso significa que qualquer carga dentro do condutor vai se rearranjar de forma que o campo interno seja zero.

Passo 3

Agora, imaginemos uma superfície imaginária (superfície de Gauss) que está dentro da cavidade onde nossa carga está. De acordo com a Lei de Gauss:
Onde é o fluxo elétrico, é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície, e é a carga total dentro da superfície.

Passo 4

Dentro da cavidade, a única carga é a carga pontual . Portanto, a carga total dentro da superfície de Gauss é . Isso significa que o fluxo elétrico através dessa superfície é:

Passo 5

Agora, como não há campo elétrico no material condutor, a carga induzida na superfície interna da cavidade deve exatamente cancelar o campo criado pela carga . Para que o campo no condutor seja nulo, a carga induzida na superfície interna deve ser .

Passo 6

Além disso, o condutor deve manter a neutralidade total. Se uma carga é induzida na superfície interna da cavidade, uma carga será induzida na superfície externa do condutor para manter o equilíbrio.

Resposta

Assim, mostramos que a carga induzida na superfície da cavidade é .

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