Um objeto condutor tem uma cavidade oca em seu interior. Se uma carga puntual
for introduzida na cavidade, demonstre que a carga - q será induzida na superfície da cavidade. (Use a lei de Gauss.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um objeto condutor que tem uma cavidade oca dentro dele. A gente coloca uma carga pontual
nessa cavidade e precisa mostrar que uma carga de
vai aparecer na superfície da cavidade. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um condutor em equilíbrio eletrostático. Dentro de um condutor, os campos elétricos são nulos. Isso significa que qualquer carga dentro do condutor vai se rearranjar de forma que o campo interno seja zero.
Passo 3
Agora, imaginemos uma superfície imaginária (superfície de Gauss) que está dentro da cavidade onde nossa carga
está. De acordo com a Lei de Gauss:
Onde
é o fluxo elétrico,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície, e
é a carga total dentro da superfície.
Passo 4
Dentro da cavidade, a única carga é a carga pontual
. Portanto, a carga total dentro da superfície de Gauss é
. Isso significa que o fluxo elétrico através dessa superfície é:
Passo 5
Agora, como não há campo elétrico no material condutor, a carga induzida na superfície interna da cavidade deve exatamente cancelar o campo criado pela carga
. Para que o campo no condutor seja nulo, a carga induzida na superfície interna deve ser
.
Passo 6
Além disso, o condutor deve manter a neutralidade total. Se uma carga
é induzida na superfície interna da cavidade, uma carga
será induzida na superfície externa do condutor para manter o equilíbrio.
Resposta
Assim, mostramos que a carga induzida na superfície da cavidade é
.