Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função . Isso envolve conhecimentos de funções, assíntotas e comportamento da função conforme x varia. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como a função se comporta em diferentes intervalos de x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar: . Isso mostra que temos uma função racional, onde é uma hipérbole deslocada verticalmente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas:
  • Assíntota vertical: ocorre quando o denominador é zero, ou seja, . Isso significa que o gráfico nunca toca a linha .
  • Assíntota horizontal: é o valor que y se aproxima quando x tende ao infinito ou menos infinito. Aqui, quando vai para ou , tende a 0, então tende a 1. Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos:
  • Para : é positivo, então será maior que 1.
  • Para : é negativo, então será menor que 1.

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos para ajudar no esboço:
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,

Passo 6

Com as informações e pontos calculados, vamos esboçar o gráfico:
  • Trace as assíntotas: uma linha vertical em e uma horizontal em .
  • Plote os pontos (1, 2), (-1, 0), (2, 1.5) e (-2, 0.5).
  • Para , desenhe a curva que se aproxima das assíntotas conforme aumenta.
  • Para , desenhe a curva que também se aproxima das assíntotas conforme diminui.

Resposta

O esboço do gráfico da função é uma hipérbole com uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Para valores positivos de x, a curva está acima de 1 e se aproxima das assíntotas conforme x cresce. Para valores negativos de x, a curva está abaixo de 1 e também se aproxima das assíntotas conforme x diminui.

Exercícios relacionados

O gráfico de uma função é dado à esquerda.
(a) Diga o valor de .
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Converta de graus para radianos.
Esboce o gráfico da função sem usar uma calculadora.