Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função
. Isso envolve conhecimentos de funções, assíntotas e comportamento da função conforme x varia. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como a função se comporta em diferentes intervalos de x.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar:
. Isso mostra que temos uma função racional, onde
é uma hipérbole deslocada verticalmente.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas:
- Assíntota vertical: ocorre quando o denominador é zero, ou seja,
. Isso significa que o gráfico nunca toca a linha . - Assíntota horizontal: é o valor que y se aproxima quando x tende ao infinito ou menos infinito. Aqui, quando
vai para ou , tende a 0, então tende a 1. Portanto, a assíntota horizontal é .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos:
- Para
: é positivo, então será maior que 1. - Para
: é negativo, então será menor que 1.
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos para ajudar no esboço:
- Se
, - Se
, - Se
, - Se
,
Passo 6
Com as informações e pontos calculados, vamos esboçar o gráfico:
- Trace as assíntotas: uma linha vertical em
e uma horizontal em . - Plote os pontos (1, 2), (-1, 0), (2, 1.5) e (-2, 0.5).
- Para
, desenhe a curva que se aproxima das assíntotas conforme aumenta. - Para
, desenhe a curva que também se aproxima das assíntotas conforme diminui.
Resposta
O esboço do gráfico da função
é uma hipérbole com uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Para valores positivos de x, a curva está acima de 1 e se aproxima das assíntotas conforme x cresce. Para valores negativos de x, a curva está abaixo de 1 e também se aproxima das assíntotas conforme x diminui.
Exercícios relacionados
O gráfico de uma função
é dado à esquerda.
(a) Diga o valor de .
(a) Diga o valor de
Esboce as regiões do plano
definidas pelas equações ou inequações.
Converta de graus para radianos.
Esboce o gráfico da função
sem usar uma calculadora.