Use algum programa matemático para calcular o valor exato de
, onde
é a curva dada por
e
. Dica: transforme a integral de linha em uma integral simples primeiro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é dada pela parametrização
, com
variando de
a
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de linha em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos transformar a integral de linha em uma integral simples usando a parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma integral de linha que acumula o valor da função
ao longo da curva
, ponderado pelo elemento de comprimento
. Para calcular isso, precisamos expressar tudo em termos da variável
que parametriza a curva.
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas
,
e
pela parametrização dada:
Então, a função dentro da integral fica:
Passo 4
Agora precisamos calcular o elemento de comprimento
. Sabemos que:
Então, vamos encontrar
derivando cada componente de
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de
para encontrar
:
Vamos simplificar isso fatorando
:
Calculando os quadrados:
Somando esses resultados:
Então,
Passo 6
Agora que temos tudo o que precisamos, vamos montar a integral:
Simplificando os expoentes de
:
E reescrevendo a integral:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral é complexa e pode não ter uma antiderivada simples em termos de funções elementares. Portanto, é mais prático usar um programa matemático, como o Wolfram Alpha ou o Mathematica, para calcular o valor exato.
Resposta
Após os cálculos, o valor exato da integral é aproximadamente
.
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.
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.
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.
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,
para
.