Determine o comprimento de arco da hélice gerada por
,
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o comprimento de arco de uma hélice definida pela função vetorial no intervalo de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no tópico de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para funções vetoriais e calcular as derivadas componentes da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
no intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função vetorial em relação a
, e
representa o módulo dessa derivada, ou seja, a velocidade instantânea da curva.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função vetorial . Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que é dado por:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Sabemos que , uma identidade trigonométrica básica. Substituindo isso na expressão:
Isso significa que a velocidade da hélice é constante e igual a
.
Passo 6
Agora, vamos voltar à fórmula do comprimento de arco:
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Resposta
O comprimento de arco da hélice no intervalo de
a
é
unidades.
Exercícios relacionados
(a) Determine a reta que passar pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
Use algum programa matemático para calcular o valor exato de
, onde
é a curva dada por
e
. Dica: transforme a integral de linha em uma integral simples primeiro.
Considerando a função
.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Determinar o(s) ponto(s) de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva
.