Uma partícula de massa
está sob a influência de um potencial
, onde
. Determine a energia total da partícula sabendo que sua função de onda é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula com massa $ m $ que está sob a influência de um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $, que é o potencial de um oscilador harmônico. A função de onda da partícula é dada por:
Nosso objetivo é determinar a energia total dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos osciladores harmônicos e à energia dos estados quânticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que no oscilador harmônico quântico, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
onde $ n = 0, 1, 2, \dots $ representa o número quântico do estado.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função de onda fornecida. A função de onda do oscilador harmônico de $ n $-ésimo estado é geralmente da forma:
onde $ H_n $ são os polinômios de Hermite e $ N_n $ é a constante de normalização.
Passo 4
Observando a nossa função de onda:
vemos que ela possui um fator linear em $ x $ multiplicado pela parte exponencial. Isso indica que $ H_n $ é um polinômio de primeiro grau, ou seja, $ n = 1 $.
Passo 5
Com isso, sabemos que a partícula está no primeiro estado excitado ($ n = 1 $) do oscilador harmônico. Usando a fórmula dos níveis de energia:
substituímos $ n = 1 $ para encontrar a energia total.
Passo 6
Fazendo a substituição:
Resposta
A energia total da partícula é $ \frac{3}{2} \hbar \omega $.