Uma partícula de massa m está sob a influência de um potencial V(x)=12 m omega^2 x^2, onde -infty. Determine a energia total da partícula sabendo que sua função de onda é
varphi(x)=[4pi(m omegahbar)^3]^1 / 4 x exp -m omega2 hbar x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula com massa $ m $ que está sob a influência de um potencial $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $, que é o potencial de um oscilador harmônico. A função de onda da partícula é dada por:
m
Nosso objetivo é determinar a energia total dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados aos osciladores harmônicos e à energia dos estados quânticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que no oscilador harmônico quântico, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
En = hbar omega (n + 12)
onde $ n = 0, 1, 2, \dots $ representa o número quântico do estado.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função de onda fornecida. A função de onda do oscilador harmônico de $ n $-ésimo estado é geralmente da forma:
n
onde $ H_n $ são os polinômios de Hermite e $ N_n $ é a constante de normalização.

Passo 4

Observando a nossa função de onda:
varphi(x) = [4pi(m omegahbar)^3]^1 / 4 x exp -m omega2 hbar x^2
vemos que ela possui um fator linear em $ x $ multiplicado pela parte exponencial. Isso indica que $ H_n $ é um polinômio de primeiro grau, ou seja, $ n = 1 $.

Passo 5

Com isso, sabemos que a partícula está no primeiro estado excitado ($ n = 1 $) do oscilador harmônico. Usando a fórmula dos níveis de energia:
n = 1
substituímos $ n = 1 $ para encontrar a energia total.

Passo 6

Fazendo a substituição:
E1 = hbar omega (1 + 12) = hbar omega (32) = 32 hbar omega

Resposta

A energia total da partícula é $ \frac{3}{2} \hbar \omega $.

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