Use uma aproximação linear ou diferencial para estimar os números:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estimar o valor de
usando uma aproximação linear. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente sobre aproximação linear ou diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da aproximação linear e escolher um ponto próximo a 1,05 onde a gente já saiba o valor do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um ponto
perto de 1,05 para facilitar os cálculos. Um bom candidato é
, porque sabemos que
, o que simplifica as coisas.
Passo 3
A fórmula da aproximação linear (também chamada de linearização) de uma função
em torno de um ponto
é:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos calcular a derivada de
:
Então, em
:
Agora, aplicando a fórmula da aproximação linear:
Passo 5
Agora, usamos essa aproximação para estimar
:
Resposta
A estimativa de
usando aproximação linear é aproximadamente 0,05.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
.
Derive:
Encontre as equações das retas tangente à essa curva nos pontos $(1,1)$ e $(2,7)$.
Utilizando o item a), encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.