Use uma aproximação linear ou diferencial para estimar os números:
ln(1.05).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estimar o valor de usando uma aproximação linear. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente sobre aproximação linear ou diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da aproximação linear e escolher um ponto próximo a 1,05 onde a gente já saiba o valor do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto perto de 1,05 para facilitar os cálculos. Um bom candidato é , porque sabemos que , o que simplifica as coisas.

Passo 3

A fórmula da aproximação linear (também chamada de linearização) de uma função em torno de um ponto é:
Aqui, é a derivada de avaliada em .

Passo 4

No nosso caso, . Vamos calcular a derivada de :
Então, em :
Agora, aplicando a fórmula da aproximação linear:

Passo 5

Agora, usamos essa aproximação para estimar :

Resposta

A estimativa de usando aproximação linear é aproximadamente 0,05.

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Encontre y' e y''.
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Utilizando o item a), encontre a equação da reta tangente à curva y = x^2 + raiz(x) no ponto 1,2.