Derive:
f(x) = (2x + 1)^x

Passo 1

Ok, vamos lá! Recebemos a função e precisamos derivá-la. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada derivação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação:
Usamos o logaritmo natural porque facilita a manipulação de exponentes.

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Isso simplifica a expressão, tornando-a mais fácil de derivar.

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Usamos a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito:
A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, derivamos o lado direito usando a regra do produto. Lembre-se que a derivada de é :
Aqui, e . A derivada de é porque usamos a regra da cadeia.

Passo 6

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , podemos substituir de volta.

Passo 7

Finalmente, substituímos na equação:
Essa é a derivada da função original.

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Derive:
r(theta) = cotg(sen(theta))^2
Derive:
f(x) = raiz(x) * sen(x)
Encontre y' e y''.
y = ln(x) / x^2.
Use uma aproximação linear ou diferencial para estimar os números:
ln(1.05).