Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y zx^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos resolver o limite da função . Esse problema faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite em várias variáveis. Diferente de funções de uma variável, onde existe apenas um caminho para se aproximar do ponto, em várias variáveis podemos nos aproximar por infinitos caminhos diferentes. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.

Passo 3

Vamos testar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: 0 cdot y + y cdot 00^2 + y^2 + 0^2 = 0y^2 = 0 e .
Substituindo na função:
Então, pelo Caminho 1, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: y cdot y + y cdot yy^2 + y^2 + y^2 = 2y^23y^2 = 23 . Ou seja, nos aproximamos de onde todas as variáveis são iguais.
Substituindo na função:
Então, pelo Caminho 2, o limite é .

Passo 5

Observamos que pelos dois caminhos diferentes, obtivemos limites diferentes: 0 e . Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Resposta

O limite não existe.

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