Use coordenadas cilindricas para calcular para calcular a integrais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla
usando coordenadas cilíndricas, onde
. Basicamente, queremos somar todos os valores de
dentro dessa região tridimensional. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são dadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Nessa mudança de coordenadas, o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
com base na descrição da região
.
Dado que
, em coordenadas cilíndricas isso fica
.
Então:
-
varia de até , -
varia de até (pois ), -
varia de até (uma volta completa ao redor do eixo ).
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
: