Use coordenadas cilindricas para calcular para calcular a integrais

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, onde . Basicamente, queremos somar todos os valores de dentro dessa região tridimensional. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são dadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Nessa mudança de coordenadas, o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e com base na descrição da região .
Dado que , em coordenadas cilíndricas isso fica .
Então:
  • varia de até ,
  • varia de até (pois ),
  • varia de até (uma volta completa ao redor do eixo ).

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

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