(2,5 pt) Use coordenadas cilindricas para calcular para calcular a integrais
integral triplaU z d V, onde U=(x, y, z) in R^3 mid raizx^2+y^2 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, onde . Basicamente, queremos somar todos os valores de dentro dessa região tridimensional. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são dadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Nessa mudança de coordenadas, o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e com base na descrição da região .
Dado que , em coordenadas cilíndricas isso fica .
Então:
  • varia de até ,
  • varia de até (pois ),
  • varia de até (uma volta completa ao redor do eixo ).

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaU z , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^z z cdot r , dr , dz , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integral em integral0^z z cdot r , dr = z cdot [ r^22 ]0^z = z cdot ( z^22 ) = z^32 :
integral0^1 z^32 , dz = 12 cdot [ z^44 ]0^1 = 12 cdot ( 14 ) = 18
  1. Integral em integral0^2pi 18 , dtheta = 18 cdot [ theta ]0^2pi = 18 cdot 2pi = pi4 :
  1. Integral em :

Resposta

pi4

Exercícios relacionados