Encontre o domínio de definição da função
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
essa soma infinita faz sentido, ou seja, para quais
a série converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries infinitas e suas condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, é bom saber que a série
é conhecida como série p. É uma série bem estudada na matemática, especialmente em cálculo, porque tem um comportamento de convergência bem definido.
Passo 3
A regra básica para a série p é a seguinte: a série
converge se e somente se o expoente
for maior que 1. Se
for igual ou menor que 1, a série não converge, ou seja, a soma cresce sem limites.
Passo 4
No nosso caso, o expoente é
. Então, aplicando a regra da série p, para a nossa função
convergir, precisamos que
.
Passo 5
Portanto, o domínio de definição da função
é todos os números reais
tais que
é maior que 1. Isso significa que para qualquer valor de
acima de 1, a série dá certo e a soma resulta em um valor finito.
Resposta
O domínio de definição da função é
.