Encontre o domínio de definição da função f(x)=sumn=1^+infty 1n^x.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa soma infinita faz sentido, ou seja, para quais a série converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries infinitas e suas condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, é bom saber que a série é conhecida como série p. É uma série bem estudada na matemática, especialmente em cálculo, porque tem um comportamento de convergência bem definido.

Passo 3

A regra básica para a série p é a seguinte: a série converge se e somente se o expoente for maior que 1. Se for igual ou menor que 1, a série não converge, ou seja, a soma cresce sem limites.

Passo 4

No nosso caso, o expoente é . Então, aplicando a regra da série p, para a nossa função convergir, precisamos que .

Passo 5

Portanto, o domínio de definição da função é todos os números reais tais que é maior que 1. Isso significa que para qualquer valor de acima de 1, a série dá certo e a soma resulta em um valor finito.

Resposta

O domínio de definição da função é .

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