Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 exp (-x^2-y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral dupla que precisa ser resolvida usando coordenadas polares. O enunciado é:
integral-a^a integral0^raiza^2-x^2 exp (-x^2-y^2) , dy , dx
Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e usar o jacobiano para fazer a mudança de variável corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, x = r cos theta e y = r sin theta são expressos como:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, e é o ângulo com o eixo . Também precisamos lembrar que o jacobiano dessa transformação é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função exponencial em termos de -x^2 - y^2 = -r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = -r^2 . Observe que:
exp(-x^2 - y^2) = exp(-r^2)
Portanto, a função fica:
integral integral exp(-r^2) cdot r , dr , dtheta
Assim, nossa integral passa a ser:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A região de integração é a metade superior de um círculo de raio integral0^pi integral0^a exp(-r^2) cdot r , dr , dtheta .
  • Para : Vai de até .
  • Para : Vai de até (já que estamos na metade superior do círculo).
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^a r exp(-r^2) , dr
Fazendo a substituição 12 integral0^a^2 exp(-u) , du = 12 [ -exp(-u) ]0^a^2 = 12 (1 - exp(-a^2)) , então integral0^pi dtheta = pi ou pi cdot 12 (1 - exp(-a^2)) = pi2 (1 - exp(-a^2)) , a integral fica:
Agora, a integral em é simples:
Multiplicando os resultados das duas integrais:

Resposta

pi2 (1 - e^-a^2)

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