Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral dupla que precisa ser resolvida usando coordenadas polares. O enunciado é:
Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e usar o jacobiano para fazer a mudança de variável corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
são expressos como:
Aqui,
é a distância do ponto até a origem, e
é o ângulo com o eixo
. Também precisamos lembrar que o jacobiano dessa transformação é
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função exponencial em termos de
. Observe que:
Portanto, a função fica:
Assim, nossa integral passa a ser:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A região de integração é a metade superior de um círculo de raio
.
- Para
: Vai de até . - Para
: Vai de até (já que estamos na metade superior do círculo).
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição
, então
ou
, a integral fica:
Agora, a integral em
é simples:
Multiplicando os resultados das duas integrais: