Verifique as igualdades: (1 + 2i) / (3 - 4i) + (2 - i) / (5i) = -2/5;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Para resolver essa igualdade, vamos precisar simplificar as frações que envolvem números complexos e depois somá-las para ver se o resultado realmente é .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira fração: . Para simplificar uma fração com números complexos no denominador, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Então, multiplicamos:

Passo 3

Vamos calcular o numerador e o denominador separados. Primeiro, o numerador:
Sabemos que , então:
Agora, o denominador:
Novamente, :
Então, a primeira fração simplificada é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda fração: . Para facilitar, podemos dividir cada termo no numerador por :
Mas ainda temos no denominador da primeira parte. Para simplificar , multiplicamos o numerador e o denominador por :
Então, a segunda fração simplificada é:

Passo 5

Agora que simplificamos as duas frações, vamos somá-las:
Somando as partes reais e imaginárias separadamente:

Resposta

Sim, a igualdade é verdadeira:

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