Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries utilizando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Precisamos comparar essa série com outra que seja mais simples para decidir se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da série:
Quando
fica bem grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, o numerador
fica aproximadamente
e o denominador
fica aproximadamente
. Assim, a fração simplifica para:
Então, vamos comparar nossa série com:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge. Mas, para confirmar, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite.
Passo 3
No Critério da Comparação pelo Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Simplificando o limite:
Agora, dividimos cada termo pelo maior grau de
, que é
:
Esse limite é um número positivo e finito (
).
Passo 5
Segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se o limite entre os termos das duas séries é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntos. Como comparamos com a série harmônica
, que diverge, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.