Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2+57 n^3+8 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty n^2+57 n^3+8 n+1
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries utilizando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Precisamos comparar essa série com outra que seja mais simples para decidir se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da série:
n^2+57 n^3+8 n+1
Quando n^27n^3 = 17n fica bem grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, o numerador sumn=1^infty 1n fica aproximadamente e o denominador fica aproximadamente . Assim, a fração simplifica para:
Então, vamos comparar nossa série com:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge. Mas, para confirmar, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite.

Passo 3

No Critério da Comparação pelo Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries quando limn to infty n^2+57 n^3+8 n+11n = limn to infty n(n^2+5)7n^3+8n+1 tende ao infinito:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty n(n^2+5)7n^3+8n+1 = limn to infty n^3 + 5n7n^3 + 8n + 1
Agora, dividimos cada termo pelo maior grau de limn to infty 1 + 5n^27 + 8n^2 + 1n^3 = 1 + 07 + 0 + 0 = 17 , que é :
Esse limite é um número positivo e finito ( ).

Passo 5

Segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se o limite entre os termos das duas séries é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntos. Como comparamos com a série harmônica , que diverge, nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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