Mostre que o campo vetorial dado é conservativo e encontre uma função potencial: f(x, y) = <x, y>

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, chamada função potencial. Além disso, em campos conservativos, a circulação do campo ao redor de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para mostrar que é conservativo, precisamos verificar se as condições de conservatividade são satisfeitas. Em duas dimensões, uma condição chave é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Onde .

Passo 4

No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a condição é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de .

Passo 6

Agora, usamos a segunda equação . Diferenciando que encontramos:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos ignorar a constante , pois a função potencial é definida até uma constante.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial para ele é:

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