Mostre que o campo vetorial dado é conservativo e encontre uma função potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, chamada função potencial. Além disso, em campos conservativos, a circulação do campo ao redor de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Para mostrar que
é conservativo, precisamos verificar se as condições de conservatividade são satisfeitas. Em duas dimensões, uma condição chave é que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Onde
.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
.
Passo 6
Agora, usamos a segunda equação
. Diferenciando
que encontramos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
, pois a função potencial é definida até uma constante.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial para ele é: