Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1raizn^2+9

Passo 1

Beleza! Vamos analisar se a série converge usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e como comparar séries semelhantes para determinar se elas somam um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Observando o denominador, percebemos que para grande, é aproximadamente . Então, fica perto de . Assim, o termo se comporta como .

Passo 3

Sabemos que a série é conhecida como série harmônica e ela diverge, ou seja, não soma a um valor finito. Agora, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite para comparar nossas séries.

Passo 4

Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, calculamos o limite:
limn to infty 1raizn^2 + 91n = limn to infty nraizn^2 + 9

Passo 5

Simplificando o limite:
limn to infty nraizn^2 + 9 = limn to infty 1raiz1 + 9n^2 = 1raiz1 + 0 = 1

Passo 6

Como o limite foi um número positivo e finito ( ), e a série com a qual estamos comparando ( ) diverge, o Critério da Comparação pelo Limite nos diz que a série original também diverge.

Resposta

A série não converge.

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