Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza! Vamos analisar se a série
converge usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e como comparar séries semelhantes para determinar se elas somam um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observando o denominador, percebemos que para
grande,
é aproximadamente
. Então,
fica perto de
. Assim, o termo
se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é conhecida como série harmônica e ela diverge, ou seja, não soma a um valor finito. Agora, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite para comparar nossas séries.
Passo 4
Aplicando o Critério da Comparação pelo Limite, calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando o limite:
Passo 6
Como o limite foi um número positivo e finito (
), e a série com a qual estamos comparando (
) diverge, o Critério da Comparação pelo Limite nos diz que a série original também diverge.
Resposta
A série
não converge.