Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 4 n+72 n^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para verificar se a série converge ou não. Isso está dentro do tópico de Séries Numéricas e precisamos entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando 4n2n^3 = 2n^2 fica bem grande. Olhando para , vemos que o termo dominante no numerador é e no denominador é . Então, para simplificar, podemos considerar o termo equivalente a:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série comparável que seja mais fácil de analisar. Vamos usar a série , que é conhecida como série p, onde . Sabemos que uma série p converge se , então nossa série de comparação também converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite da razão entre os termos da nossa série original e a série de comparação:
limn to infty 4n+72n^3-11n^2 = limn to infty (4n+7) cdot n^22n^3-1
Simplificando o limite:
limn to infty 4n^3 + 7n^22n^3-1 = limn to infty 4 + 7n2 - 1n^3 = 42 = 2

Passo 5

Como o limite calculado é um número positivo e finito ( ), segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se a série de comparação converge, então a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Comparação pelo Limite.

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