Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para verificar se a série
converge ou não. Isso está dentro do tópico de Séries Numéricas e precisamos entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande. Olhando para
, vemos que o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Então, para simplificar, podemos considerar o termo equivalente a:
Passo 3
Agora, escolhemos uma série comparável que seja mais fácil de analisar. Vamos usar a série
, que é conhecida como série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
, então nossa série de comparação
também converge.
Passo 4
Vamos aplicar o Critério da Comparação pelo Limite. Calculamos o limite da razão entre os termos da nossa série original e a série de comparação:
Simplificando o limite:
Passo 5
Como o limite calculado é um número positivo e finito (
), segundo o Critério da Comparação pelo Limite, se a série de comparação
converge, então a nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Critério da Comparação pelo Limite.