Use o Critério da Comparação para mostrar que a série é divergente. O Critério da Razão é conclusivo, neste caso? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a tarefa de usar o Critério da Comparação para mostrar que a série diverge. Além disso, precisamos verificar se o Critério da Razão é útil nesse caso. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os critérios de comparação e razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para entendermos melhor. Observa que:
Sabemos que , então:
E,
Portanto, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, vamos usar o Critério da Comparação. Esse critério diz que se a nossa série é maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então a nossa série também diverge.
Sabemos que a série é uma série harmônica, que é conhecida por divergir. Já que:
E a série menor já diverge, então, pelo Critério da Comparação, a nossa série também diverge.
Passo 4
Vamos verificar o Critério da Razão para ver se ele pode nos ajudar. O Critério da Razão envolve calcular o limite:
Aplicando à nossa série:
an = n! + 1(n+1)!
Então,
an+1an = (n+1)! + 1(n+2)! cdot (n+1)!n! + 1
Simplificando isso fica complicado e não nos dá um limite claro. Na verdade, o limite acaba sendo 1, o que é inconclusivo segundo o Critério da Razão (pois ele só conclui divergência se L > 1 e convergência se L < 1).
Resposta
Usando o Critério da Comparação, mostramos que a série sumn=1^infty n! + 1(n+1)! diverge. Já o Critério da Razão não foi conclusivo nesse caso.