Use o Critério da Comparação para mostrar que a série sumn=1^infty n!+1(n+1)! é divergente. O Critério da Razão é conclusivo, neste caso? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a tarefa de usar o Critério da Comparação para mostrar que a série sumn=1^infty n! + 1(n+1)! diverge. Além disso, precisamos verificar se o Critério da Razão é útil nesse caso. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os critérios de comparação e razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para entendermos melhor. Observa que:
n! + 1(n+1)! = n!(n+1)! + 1(n+1)!
Sabemos que (n+1)! = (n+1) cdot n!, então:
n!(n+1)! = n!(n+1) cdot n! = 1n+1
E,
1(n+1)! é bem menor que 1n+1 é
Portanto, podemos dizer que:
n! + 1(n+1)! >= 1n+1

Passo 3

Agora, vamos usar o Critério da Comparação. Esse critério diz que se a nossa série é maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então a nossa série também diverge.
Sabemos que a série sumn=1^infty 1n+1 é uma série harmônica, que é conhecida por divergir. Já que:
n! + 1(n+1)! >= 1n+1
E a série menor já diverge, então, pelo Critério da Comparação, a nossa série sumn=1^infty n! + 1(n+1)! também diverge.

Passo 4

Vamos verificar o Critério da Razão para ver se ele pode nos ajudar. O Critério da Razão envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Aplicando à nossa série:
an = n! + 1(n+1)!
Então,
an+1an = (n+1)! + 1(n+2)! cdot (n+1)!n! + 1
Simplificando isso fica complicado e não nos dá um limite claro. Na verdade, o limite acaba sendo 1, o que é inconclusivo segundo o Critério da Razão (pois ele só conclui divergência se L > 1 e convergência se L < 1).

Resposta

Usando o Critério da Comparação, mostramos que a série sumn=1^infty n! + 1(n+1)! diverge. Já o Critério da Razão não foi conclusivo nesse caso.

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