Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Vamos estudar a convergência da série
utilizando o Critério da Raiz. Esse critério nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando a raiz enésima do termo geral da série e analisando o limite.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é calcular o limite
.
Passo 3
Aplicamos o Critério da Raiz:
Simplificando as raízes:
Portanto:
Passo 4
Agora, calculamos o limite:
Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce linearmente. Portanto, à medida que
aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador, fazendo com que o limite seja infinito:
Resposta
Como o limite obtido é
, que é maior que 1, pelo Critério da Raiz a série
diverge.
Exercícios relacionados
Fixe um número real
e considere a série
. Para quais valores de
esta série é convergente? (Sugestão: note que
.)
Mostre as seguintes identidades:
Encontre a divergência dos campos vetoriais:
Use o Critério da Comparação para mostrar que a série
é divergente. O Critério da Razão é conclusivo, neste caso? Justifique.